• Asignatura: Matemáticas
  • Autor: pestilente85otrx47
  • hace 9 años

Encuentre la distancia entre los puntos (1,1) y (3,9) a lo largo de la curva y= x^2


Anónimo: La distancia más corta, o la longitud a lo largo de la función?
pestilente85otrx47: la longitud a lo largo de la funcion

Respuestas

Respuesta dada por: Anónimo
7
La longitud L de una función, entre los puntos x_1=a y x_2=b, se calcula como:

L=\int\limits^a_b {\sqrt{1+(f'(x))^2}} \, dx

Calculamos la primera derivada de la función:

f'(x)=(x^2)\frac{d}{dx}

f'(x)=2x

L=\int\limits^a_b {\sqrt{1+(2x)^2}\, dx}

L=\int\limits^a_b {\sqrt{1+4x^2}\, dx}

Esto se integra como:

L=\left[\frac{1}{2}x\sqrt{1+4x^2}+\frac{1}{4}senh^{-1}(2x)\right]\limits^a_b

L=\frac{1}{2}a\sqrt{1+4a^2}+\frac{1}{4}senh^{-1}(2a)-\frac{1}{2}b\sqrt{1+4b^2}-\frac{1}{4}senh^{-1}(2b)

Reemplazando por los valores pedidos:

L=\frac{1}{2}\times3\sqrt{1+4\times 3^2}+\frac{1}{4}senh^{-1}(2\times 3)-\frac{1}{2}\sqrt{1+4}-\frac{1}{4}senh^{-1}(2)

L=\frac{3}{2}\sqrt{37}+\frac{1}{4}log(6+\sqrt{37})-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{4}log(2+\sqrt{5})

L\cong 9,124+0,271-1,118-0,157

L\cong 8,12

Me pareció raro que te lo pidieran a lo largo de la curva, la verdad es que da bastante feo.
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