Question

Determina la base que genera el siguiente espacio vectorial al despejar la variable y:
M = { ( x , y , z ) | 3x + 4y + z = 0 }

Answer 1

ALGEBRA LINEAL Y GEOMETR ´ ´ IA 1. INTERROGANTES CENTRALES DEL CAP´ ITULO • Hallar un sistema triangular que sea equivalente a uno dado. • Conocer los distintos tipos de matrices y manejar las distintas operaciones que se definen entre ellas, usando correctamente sus propiedades. • Hallar el determinante de una matriz de cualquier orden. • Hallar la matriz inversa de una matriz dada. • Discutir y resolver sistemas de ecuaciones lineales. • Conocer y utilizar la estructura de espacio vectorial y los conceptos de base y dimension. ´ • Identificar cuando una matriz es diagonalizable. • Calcular la matriz diagonal semejante a una matriz A dada como recurso para efectuar su potencia n-esima. ´ • Calcular la forma Jordan de matrices de ordenes ´ 2 y 3, usandola como recurso para efectu

Answer 2

Para encontrar una base, primero se observa que si X y Z se escogen aleatoriamente y si (X, Y, Z) ∈ M, entonces Y = -3X/4 - Z/4, así, los vectores en M tienen la forma:
(X, -3X/4 - Z/4, Z), necesitamos encontrar vectores en ℝ3 tales que cualquier vector de esta forma, se pueda expresar como combinacion lineal de estos vectores.
Se procede a determinarlos, se expresa el vector como suma vectorial de dos vectores:
(X, -3X/4 - Z/4, Z) = (X, -3X/4, 0) + (0, -Z/4, Z)
de estos vectores, sacamos los factores X y Z, y queda así:

(X, -3X/4 - Z/4, Z) = (X, -3X/4, 0) + (0, -Z/4, Z) = X(1, -3/4, 0) + Z(0, -1/4, 1)
estos vectores encontrados: (1, -3/4, 0) y (0, -1/4, 1), al ser vectores que permiten que los vectores del espacio se expresen en combinacion lineal de estos, constituyen la base del espacio vectorial M.

Base de M: {(1, -3/4, 0),  (0, -1/4, 1)}