Question

Un proyectil se dispara desde la superficie con
un ángulo de 53° respecto de la horizontal. Si
el proyectil hace impacto a 24 m del punto
de lanzamiento. Hallar la altura máxima
alcanzada
Ayuda pls!!!!

Answer 1

Para un vector de velocidad inicial $v$, sus componentes serán:

$v_x=v\times cos(53)$

$v_y=v\times sen(53)$

Comencemos escribiendo la ecuación que define a la trayectoria vertical:

$y(t)=y_0+v_yt-\frac{1}{2}at^2$

"a" es el valor de la aceleración de la gravedad terrestre, de momento lo dejamos expresado con letras.

Veamos que la altura inicial es cero, por lo tanto $y_0=0$

Notemos que cuando el proyectil vuelve a tocar el suelo a los $24\:m$, la altura en ese punto es $y(t)=0$, por lo tanto despejamos al tiempo en función de las componentes de la velocidad:

$y(t)=0$

$v_yt-\frac{1}{2}at^2=0$

$t(v_y-\frac{1}{2}at)=0$

Aquí vemos que la altura es cero cuando $t=0$ y además cuando:

$v_y-\frac{1}{2}at=0$

$v_y=\frac{1}{2}at$

$2\frac{v_y}{a}=t$

Entonces para este instante de tiempo, la trayectoria en "x" es 24 m
Escribimos la ecuación de trayectoria de MRU en "x"

$x(t)=x_0+v_xt$

Notemos que la posición inicial $x_0=0$ por lo tanto:

$x(t)=v_xt$

Reemplazamos "t" por el valor hallado:

$x(2v_y/a)=24$

$v_x\times 2\frac{v_y}{a}=24$

Reemplazamos $v_x$ y $v_y$ por sus equivalencias, las cuales calculamos al principio del problema:

$v\times cos(53)\times 2\frac{v\times sen(53)}{a}=24$

$v^2\times cos(53)\times sen(53)=\frac{24a}{2}$

$v^2=\frac{12a}{sen(53)\times cos(53)}$

$v=+\sqrt{\frac{12a}{sen(53)\times cos(53)}}$

Reemplazamos "a" por su valor:

$v=+\sqrt{\frac{12\times 9,81}{sen(53)\times cos(53)}}$

$v\cong 15,65 m/s$

Ahora derivamos la función de trayectoria vertical para hallar la función de velocidad vertical:

$v(t)=v_y-at$

En el punto máximo la velocidad vertical será igual a cero, por lo tanto:

$0=v_y-at$

Reemplazamos por los valores hallados y despejamos "t"

$t=\frac{v_y}{a}$

$t=\frac{v\times sen(53)}{a}$

$t=\frac{15,65\times sen(53)}{9,81}$

$t=1,274\:s$

Entonces la altura máxima será alcanzada a los 1,274 s

Por último, volvemos a la ecuación de trayectoria vertical y encontramos la altura máxima:

$y(t)=v_yt-\frac{1}{2}at^2$

$y(1,274)=15,65\times sen(53)\times 1,274-\frac{1}{2}9,81\times (1,274)^2$

Resolviendo el cálculo:

$y(1,274)=7,96 m$

De esta manera resolvemos el problema, la altura máxima alcanzada será de 7,96 metros