Question

Un rollo de cinta de longitud L se desenrolla conforme rueda hacia abajo a lo largo de un plano inclinado de angulo Ф. El extremo superior de la cinta se ha fijado al plano inclinado. Muestre que la cinta se desenrolla totalmente en un tiempo T=√(3L/gsenФ)

Answer 1

La dinámica del  rollo tiene dos aspectos: la rotación y la traslación.

La distancia recorrida por el rollo (hasta que se termina) es L. Dado que parte del reposo:

L = 1/2 a t²; debemos hallar a

Hay una fuerza sobre el rollo, paralela al plano inclinado, aplicada en el punto de contacto, hacia arriba. El momento de esta fuerza produce la rotación del rollo.

Movimiento de rotación: T = I α (momento de fuerza = momento de inercia por aceleración angular)

T = F r; I = 1/2 m r² (cilindro homogéneo); α = a / r

De modo que F r = 1/2 . m r² . a / r; F = 1/2 m a

Veamos la traslación:

m g senФ  - F = m a

m g senФ - 1/2 m a = m a; 3/2 m a = m g senФ;

Luego a = 2/3 g senФ

Finalmente: L = 1/2 . 2/3 g senФ t² = 1/(3 g senФ) . t²

O sea t = √[3 L / (g senФ)]

Saludos Herminio