Question

Se utiliza una manguera para llenar de agua un contenedor cilíndrico grande de
diámetro D y altura 2D. La manguera lanza el agua a 45° sobre la horizontal, desde
el mismo nivel que la base del tanque, y está a una distancia de 6D de este. A) Para
qué intervalo de rapideces de lanzamiento (v0) el agua entrara en el contenedor.
Ignore la resistencia el aire, y exprese su respuesta en términos de D y de g

Answer 1

Respuesta: Vo = 3√gD

Planteamos las componentes de la velocidad inicial (x e y):

Vox = VoCos45
Voy = VoSen45

En x debe recorrer una distancia de 6D y en y una altura de 2D.

Para y:
y = yo + Voy × t - 0.5gt², yo = 0
y =  VoSen45 × t - 0.5gt²
2D = VoSen45 × t - 0.5gt²  (I)

Para x: 
x = Vox × t
x = VoCos45 × t
6D = VoCos45 × t  (II)

Despejamos tiempo de II:

t = 6D/VoCos45

t = 6D√2/Vo (III)

Sustituimos III en I:

2D = VoSen45 × t - 0.5gt²

2D = Vo$\frac{ \sqrt{2} }{2}$ × $\frac{6D \sqrt{2} }{Vo}$ - 0.5g × $(\frac{6D \sqrt{2} }{Vo})^{2}$

2D = 6D - 0.5g × $\frac{72D^{2}}{Vo^{2} }$

-4D = - 0.5g × $\frac{72D^{2}}{Vo^{2} }$, despejamos Vo

$\frac{8D}{g}$ = $\frac{72D^{2}}{Vo^{2} }$

$\frac{D}{9g} = \frac{72D^{2}}{Vo^{2} }$

$Vo^{2} = 9gD$

Vo = √9gD

Vo = 3√gD

Answer 2

Respuesta:

El intervalo de rapidez con que debe salir el chorro de agua para entrar en la boca del contenedor es, $3\sqrt{gD} < v_0 < \frac{7\sqrt{gD} }{\sqrt{5} }$

Explicación:

Las ecuaciones dl movimiento parabolico son:

*Para el movimiento vertical:

                                    $y=y_0+v_0_yt+\frac{1}{2}a_yt^2$

siendo

$y_0=0\\v_0_y=v_0sen(\alpha_0)\\a_y=-g$

de modo q:               $y=v_0tsen(\alpha_0)-\frac{1}{2}gt^2$

*Para el movimiento en la horizontal:

                                    $x=x_0+v_0_xt$

siendo

$x_0=0\\v_0_x=v_0cos(\alpha_0)$

de modo q:

                                    $x=v_0tcos(\alpha _0)$

*PARA LA PRIMERA RAPIDEZ ($v_1$):

          $x=v_1tcos(\alpha _0) --- > 6D=v_1tcos(\alpha _0)$ y despejando $v_1t$

                                                    $v_1t=\frac{6D}{cos(\alpha _0)}$

reemplazamos este valor en la ecuacion de mov. vertical, es decir:

$y=sen(\alpha _0)(\frac{6D}{cos(\alpha _0)} )-\frac{1}{2}gt^2$ y ahora, la altura a la que debe llegar el chorro de agua es $y=2D$, por lo tanto:

$2D=6Dtan(\alpha_0)-\frac{1}{2}gt^2$ y despejando t tendremos el tiempo que le toma llegar hasta el borde mas proximo de la boca del recipiente, entonces:

$t=\sqrt{\frac{12Dtan(\alpha _0)-4D}{g} }$ y como  $tan(\alpha _0)=tan(45)=1$ ns queda que

                                          $t=\sqrt{\frac{8D}{g} }=2\sqrt{\frac{2D}{g} }$

y la rapidez con que debera salir sera:

               $v_1t=\frac{6D}{cos(\alpha_0) }\\ v_1=\frac{6D}{tcos(\alpha _0)}= \frac{6D}{2\sqrt{\frac{2D}{g} }cos(\alpha _0) }$  y como  $cos(\alpha _0)=cos (45)=\frac{1}{\sqrt{2} }$

y simplificando nos queda que:  

                                            $v_1=3\sqrt{gD}$

*PARA LA SEGUNDA RAPIDEZ ($v_2$):

Los pasos a seguir son similares, en esta ultima se suman la distancia desde la base de la manguera mas el diametro del cilindro q recepciona el agua, de modo que 6D+D=7D, entonces:

$v_2t=\frac{7D}{cos(\alpha _0)}$  reemplazamos este valor en la ecuacion de mov. vertical

$y=sen(\alpha _0)(\frac{7D}{cos(\alpha _0)} )-\frac{1}{2}gt^2$  y la altura a la que debe llegar el chorro de agua es $y=2D$, entonces:

$2D=7Dtan(\alpha _0)-\frac{1}{2}gt^2$ despejando t, y simplificando, tendremos el tiempo que le toma llegar hasta la parte mas alejada de la boca del recipiente:

                  $t=\sqrt{\frac{10D}{g} }$ y la rapidez con debera salir es:

                 $v_2t=\frac{7D}{cos(\alpha _0)} \\v_2=\frac{7D}{tcos(\alpha _0)} \\v_2=\frac{7D}{\sqrt{\frac{10D}{g} }cos(\alpha _0) }$  y como $cos(\alpha _0)=cos (45)=\frac{1}{\sqrt{2} }$ y simplificando

                $v_2=7\sqrt{\frac{gD}{5} }$

De modo que para q el chorro de agua entre en el recipiente, esta debe salir con una rapidez tal que se halle entre:

                                        $3\sqrt{gD} < v_0 < 7\sqrt{\frac{gD}{5} }$