Question

Ayúdenme por favor , es urgenteeeeee

Answer 1

Por lo visto es una hipérbola cuyo eje principal coincide con el eje X, su ecuación es de la forma

         $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1~\text{, con }a\geq{b}$

ecuación de la tangente a la hipérbola en el punto $(x_0,y_0)$ 

                         $\dfrac{xx_0}{a^2}-\dfrac{yy_0}{b^2}=1$

o también
                                    $\dfrac{x}{a^2/x_0}-\dfrac{y}{b^2/y_0}=1$

o sea 

$\dfrac{a^2}{x_0}=\dfrac{16}{6}~~~~\&~~~~ \dfrac{b^2}{y_0}=\dfrac{16}{5}\\ \\ \\ \text{Adem\'as por propiedad tenemos }c^2=a^2+b^2\\ \\ \left(\dfrac{12\sqrt5}{5}\right)^2=a^2+b^2\\ \\ \\ \dfrac{144}{5}=\dfrac{16x_0}{6}+\dfrac{16y_0}{5}\\ \\ \\ 5x_0+6y_0=54\\ \\ \texttt{de la ecuaci\'on de la recta tenemos }6x_0-5y_0=16\\ \texttt{Es decir que se tiene el siguiente sistema: }\\ \\ \begin{cases} 5x_0+6y_0=54\\ 6x_0-5y_0=16 \end{cases}$


$\text{Resolviendo: }(x_0,y_0)=(6,4)\\ \\ \\ \text{Por ende }a^2=\dfrac{16}{6}\times6=16\\ \\ \\ b^2=\dfrac{16}{5}\times4=\dfrac{64}{5}\\ \\ \\ \texttt{ecuaci\'on de la hip\'erbola}:\\ \\ \\ ~~~~~~~\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{64/5}=1~~\equiv ~~ \dfrac{x^2}{80}-\dfrac{y^2}{64}=\dfrac{1}{5}$