3- La potencia de una hélice impulsora de un generador eólico es P = K ωx . ry . Dz siendo:
ω = velocidad angular
r = radio de la hélice
D = densidad del aire
Hallar x, y, z, aplicando la ecuación dimensional
Respuestas
Respuesta dada por:
14
La fórmula original para la potencia, P, es:
![P=K w^{x} r^{y} D^{z} P=K w^{x} r^{y} D^{z}](https://tex.z-dn.net/?f=P%3DK+w%5E%7Bx%7D++r%5E%7By%7D++D%5E%7Bz%7D+)
Es importante manejar la notación. Se usan los corchetes [ ] para significar las dimensiones de la variable que se encuentra entre ellos.
Así: [P] significa dimensiones de la potencia.
Sabemos que [P] = M * L^2 * T^ -3
Donde M representa masa, L longitud, y T tiempo.
Es decir, que las dimensiones de la potencia son masa * longitud al cuadrado * tiempo a la menos 3.
Las dimensiones del lado derecho de la ecuación deben ser iguales a las dimensiones del lado izquierdo, por tanto:
[P] = [K * w^x * r^y * D^z]
=> [P] = [K]*[w^x]*[r^y]*[D^z]
Sabemos que:
> siendo K un número (dato que faltó expresar en la pregunta, pero que es así), K no tiene dimensiones.
>siendo la velocidad angular, [w] = T^-1, es decir, tiempo a la menos 1.
>siendo r el radio, [r] = L, es decir, longitud
>siendo D la densidad, [D] = M*(L^ - 3), es decir, masa por longitud a la menos 3.
Por tanto, al igualar las dimensiones de los miembros izquierdo y derecho de la ecuación, obtienes:
=> M*L^2*T^-3 = (T^-1)^x * (L)^y * (M*L^ - 3)^z
Debes ahora igualar los exponentes de las cantidades con bases iguales.
Así:
A partir de T^-3 y T^ -x, obtienes x = 3
A partir de M (del lado izquierdo) y M^z (del lado derecho), obtienes z = 1
A partir de L^2 (del lado izquierdo) y (L^y) * (L^ -3z) del lado derecho, obtienes y - 3z = 2 => y = 2 + 3z = 2 -3(1) = 5
Respuesta:
Hemos obtenido los tres valores requeridos: x = 3, y = 5, z = 1
Es importante manejar la notación. Se usan los corchetes [ ] para significar las dimensiones de la variable que se encuentra entre ellos.
Así: [P] significa dimensiones de la potencia.
Sabemos que [P] = M * L^2 * T^ -3
Donde M representa masa, L longitud, y T tiempo.
Es decir, que las dimensiones de la potencia son masa * longitud al cuadrado * tiempo a la menos 3.
Las dimensiones del lado derecho de la ecuación deben ser iguales a las dimensiones del lado izquierdo, por tanto:
[P] = [K * w^x * r^y * D^z]
=> [P] = [K]*[w^x]*[r^y]*[D^z]
Sabemos que:
> siendo K un número (dato que faltó expresar en la pregunta, pero que es así), K no tiene dimensiones.
>siendo la velocidad angular, [w] = T^-1, es decir, tiempo a la menos 1.
>siendo r el radio, [r] = L, es decir, longitud
>siendo D la densidad, [D] = M*(L^ - 3), es decir, masa por longitud a la menos 3.
Por tanto, al igualar las dimensiones de los miembros izquierdo y derecho de la ecuación, obtienes:
=> M*L^2*T^-3 = (T^-1)^x * (L)^y * (M*L^ - 3)^z
Debes ahora igualar los exponentes de las cantidades con bases iguales.
Así:
A partir de T^-3 y T^ -x, obtienes x = 3
A partir de M (del lado izquierdo) y M^z (del lado derecho), obtienes z = 1
A partir de L^2 (del lado izquierdo) y (L^y) * (L^ -3z) del lado derecho, obtienes y - 3z = 2 => y = 2 + 3z = 2 -3(1) = 5
Respuesta:
Hemos obtenido los tres valores requeridos: x = 3, y = 5, z = 1
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