Question

3- La potencia de una hélice impulsora de un generador eólico es P = K ωx . ry . Dz siendo:

ω = velocidad angular
r = radio de la hélice
D = densidad del aire

Hallar x, y, z, aplicando la ecuación dimensional

Answer 1

La fórmula original para la potencia, P, es:

$P=K w^{x} r^{y} D^{z}$

Es importante manejar la notación. Se usan los corchetes [ ] para significar las dimensiones de la variable que se encuentra entre ellos.

Así: [P] significa dimensiones de la potencia.

Sabemos que [P] = M * L^2 * T^ -3

Donde M representa masa, L longitud, y T tiempo.

Es decir, que las dimensiones de la potencia son masa * longitud al cuadrado * tiempo a la menos 3.

Las dimensiones del lado derecho de la ecuación deben ser iguales a las dimensiones del lado izquierdo, por tanto:

[P] = [K * w^x * r^y * D^z]

=> [P] = [K]*[w^x]*[r^y]*[D^z]

Sabemos que:

> siendo K un número (dato que faltó expresar en la pregunta, pero que es así), K no tiene dimensiones.
>siendo la velocidad angular, [w] = T^-1, es decir, tiempo a la menos 1.
>siendo r el radio, [r] = L, es decir, longitud
>siendo D la densidad, [D] = M*(L^ - 3), es decir, masa por longitud a la menos 3.

Por tanto, al igualar las dimensiones de los miembros izquierdo y derecho de la ecuación, obtienes:

=> M*L^2*T^-3 = (T^-1)^x * (L)^y * (M*L^ - 3)^z

Debes ahora igualar los exponentes de las cantidades con bases iguales.

Así:

A partir de T^-3 y T^ -x, obtienes x  = 3

A partir de M (del lado izquierdo) y M^z (del lado derecho), obtienes z = 1

A partir de L^2 (del lado izquierdo) y (L^y) * (L^ -3z) del lado derecho, obtienes y - 3z = 2 => y = 2 + 3z = 2 -3(1) = 5

Respuesta:

Hemos obtenido los tres valores requeridos: x = 3, y = 5, z = 1