Question

Probar que la función R que transforma R^2 en R^2 al rotar el plano en el sentido contrario al que giran las manecillas del reloj un ángulo positivo α, es una transformación lineal.

Answer 1

La matriz de rotación usada en transformaciones lineales de R2 es la siguiente:

$\left[\begin{array}{ccc}cos( \alpha )&-sen( \alpha )\\sen( \alpha )&cos( \alpha )\end{array}\right]$

Esta es la matriz asociada, para probar que es una TL basta con mostrar que:

T(a+b) = T(a) + T(b)

y que:

T(k*a) = k * T(a)

En el primer caso es sencillo ver que, rotar "a+b" grados, es lo mismo que rotar "a" grados y luego rotar nuevamente "b" grados
Como la transformación tiene matriz asociada, es fácil ver que se cumple el producto por escalar, con esto alcanza para ver que es una TL