Question

¿Cómo resolver esta integral por sustitución? $\int\limits({ \sqrt{(1+cosx)^3})senx } \, dx$

Yo lo hice primero cambiando ese + de adentro del paréntesis por -(-cosx), sustituyendo con $u= -cos (x)$ y $du= sen(x)dx$, después saqué la raíz dejando $\int\ (1-u)^{3/2} } \, du$ y al final sólo integré esa potencia, me quedó:
$\frac{2}{5} (1+cos x)^{5/2} +k$ pero creo que está mal porque un programa que usé para verificar me da otro resultado :(
¿Me pueden ayudar? Porfiii

Answer 1

Sea la integral ,

$I = \int (1+cosx)^{\frac{3}{2}} senx dx$

Podemos hacer el cambio :

u = 1 + cosx 
du = -senx dx

Sustituyendo : 

$I = - \int u^{\frac{3}{2}} du \\ \\ \boxed{I = -\frac{2}{5}(1+cosx)^{ \frac{5}{2}} + C }$

Esa es la respuesta, no te fies siempre de los programas ó, verifica que tu solución es equivalente a la que ellos dan, en este caso, se puede reescribir el resultado como :

$I = -\frac{2}{5}(1+cosx)^{ \frac{5}{2}} + C \\ \\ I = -\frac{2}{5}(1+cosx)^{ \frac{3}{2} + 1} + C \\ \\ I = -\frac{2}{5}(1+cosx)^{ \frac{3}{2}} \cdot (1+cosx) + C \\ \\ \boxed{I = -\frac{2}{5}\sqrt{(1+cosx)^{3}} \cdot (1+cosx) + C}}$

Que es lo mismo que te dió maple, espero haber aclarado tu duda..

Salu2 :).