¿Cómo resolver esta integral por sustitución? ![\int\limits({ \sqrt{(1+cosx)^3})senx } \, dx \int\limits({ \sqrt{(1+cosx)^3})senx } \, dx](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cint%5Climits%28%7B+%5Csqrt%7B%281%2Bcosx%29%5E3%7D%29senx+%7D+%5C%2C+dx+)
Yo lo hice primero cambiando ese + de adentro del paréntesis por -(-cosx), sustituyendo con
y
, después saqué la raíz dejando
y al final sólo integré esa potencia, me quedó:
pero creo que está mal porque un programa que usé para verificar me da otro resultado :(
¿Me pueden ayudar? Porfiii
F4BI4N:
mm, prueba con u = 1+cosx en el cambio, es más facil :v
Respuestas
Respuesta dada por:
1
Sea la integral ,
![I = \int (1+cosx)^{\frac{3}{2}} senx dx
I = \int (1+cosx)^{\frac{3}{2}} senx dx](https://tex.z-dn.net/?f=I+%3D+%5Cint+%281%2Bcosx%29%5E%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%7D+senx+dx%0A)
Podemos hacer el cambio :
u = 1 + cosx
du = -senx dx
Sustituyendo :
![I = - \int u^{\frac{3}{2}} du \\ \\
\boxed{I = -\frac{2}{5}(1+cosx)^{ \frac{5}{2}} + C }
I = - \int u^{\frac{3}{2}} du \\ \\
\boxed{I = -\frac{2}{5}(1+cosx)^{ \frac{5}{2}} + C }](https://tex.z-dn.net/?f=I+%3D+-+%5Cint+u%5E%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%7D+du+%5C%5C+%5C%5C%0A%5Cboxed%7BI+%3D++-%5Cfrac%7B2%7D%7B5%7D%281%2Bcosx%29%5E%7B+%5Cfrac%7B5%7D%7B2%7D%7D+%2B+C+++%7D%0A)
Esa es la respuesta, no te fies siempre de los programas ó, verifica que tu solución es equivalente a la que ellos dan, en este caso, se puede reescribir el resultado como :
![I = -\frac{2}{5}(1+cosx)^{ \frac{5}{2}} + C \\ \\
I = -\frac{2}{5}(1+cosx)^{ \frac{3}{2} + 1} + C \\ \\
I = -\frac{2}{5}(1+cosx)^{ \frac{3}{2}} \cdot (1+cosx) + C \\ \\
\boxed{I = -\frac{2}{5}\sqrt{(1+cosx)^{3}} \cdot (1+cosx) + C}} I = -\frac{2}{5}(1+cosx)^{ \frac{5}{2}} + C \\ \\
I = -\frac{2}{5}(1+cosx)^{ \frac{3}{2} + 1} + C \\ \\
I = -\frac{2}{5}(1+cosx)^{ \frac{3}{2}} \cdot (1+cosx) + C \\ \\
\boxed{I = -\frac{2}{5}\sqrt{(1+cosx)^{3}} \cdot (1+cosx) + C}}](https://tex.z-dn.net/?f=I+%3D+-%5Cfrac%7B2%7D%7B5%7D%281%2Bcosx%29%5E%7B+%5Cfrac%7B5%7D%7B2%7D%7D+%2B+C++%5C%5C+%5C%5C%0AI+%3D+-%5Cfrac%7B2%7D%7B5%7D%281%2Bcosx%29%5E%7B+%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D+%2B+1%7D+%2B+C+%5C%5C+%5C%5C%0AI+%3D+-%5Cfrac%7B2%7D%7B5%7D%281%2Bcosx%29%5E%7B+%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%7D+%5Ccdot+%281%2Bcosx%29+%2B+C+%5C%5C+%5C%5C%0A%5Cboxed%7BI+%3D+-%5Cfrac%7B2%7D%7B5%7D%5Csqrt%7B%281%2Bcosx%29%5E%7B3%7D%7D+%5Ccdot+%281%2Bcosx%29+%2B+C%7D%7D+)
Que es lo mismo que te dió maple, espero haber aclarado tu duda..
Salu2 :).
Podemos hacer el cambio :
u = 1 + cosx
du = -senx dx
Sustituyendo :
Esa es la respuesta, no te fies siempre de los programas ó, verifica que tu solución es equivalente a la que ellos dan, en este caso, se puede reescribir el resultado como :
Que es lo mismo que te dió maple, espero haber aclarado tu duda..
Salu2 :).
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