Question

Se desea conectar la rampa de la izquierda con la plataforma de la derecha, a través de
una parábola, de modo que la curva sea continua para x=2 y x=4. Naturalmente, se
solicita que la pendiente de la parábola sea la que posee la rampa en el punto de
conexión para asegurar un deslizamiento suave de los deportistas.
A partir de esta situación:
1. Identificar y clasificar la ecuación general de la parábola.
2. Señalar y explicar los 3 conceptos que se deben aplicar para resolver el problema
y diseñar la rampa que los skaters necesitan.
3. Desarrollar paso a paso la solución de la parábola

Answer 1

La ecuación de una parábola corresponde a la siguiente forma:

y = ax² + bx + c

Condición: curva continua para x=2 y x=4

Según la imagen adjunta, la parábola debe pasar por dos puntos (x,y):
(4,3) y (2,1) [este segundo corresponde al punto mínimo que tendrá la parábola para cumplir con la condición dada].

Los valores de a,b y c son desconocidos, por lo que debe plantearse un sistema de 3 ecuaciones.

Para que un punto sea externo debe cumplirse que: f'(x) = 0
Derivamos la ecuación de la parábola: 2ax + b

Sustituyendo el mínimo (2,1): f'(2) = 2*2*a + b = 0
Se obtiene: 4a + b = 0 (I)

La parábola pasa por el punto (2,1), en la ecuación de la parábola se sustituye:1 = a(2)² + b*(2) + c
1 = 4a + 2b + c (II)

La parábola pasa por el punto (4,3), en la ecuación de la parábola se sustituye: 3 = a(4)² + b*(4) + c
3 = 16a + 4b + c (III)

Formamos el sistema de tres ecuaciones:
4a + b           = 0
4a + 2b + c   = 1
16a + 4b + c = 3

Solucionando el sistema se obtendrá:
a = 1/2
b = -2
c =  3

Por lo que la ecuación de la parábola deberá ser:

y = $\frac{1}{2}$x² - 2x + 3