A partir de la ecuación para determinar el costo de producción en la actividad “La derivada y su función”, que fue c(x)= 2x2 - 6x, determina la razón de cambio del costo de producir de 500 toneladas a 600.
Recuerda que para calcular esta razón de cambio es necesario dividir cuánto varió el costo de 500 a 600 toneladas de jitomate, es decir:
(imagen)
Entonces, la variación del costo o la razón de cambio de producir de 500 a 600 toneladas es de $2194 pesos por tonelada.
A partir de lo anterior, responde lo siguiente en dos momentos:
En el planteamiento, ¿el precio del jitomate es decreciente o creciente (analiza el signo del resultado de la razón de cambio)? Argumenta tu respuesta.
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La imagen muestra los resultados de la razón de cambio del costo de los jitomates cuando la cantidad producida cambia de 500 a 600 toneladas.
En ella, se ve que el costo aumenta en 219400 pesos, mientras que la cantidad ha aumentado en 100 toneladas.
Eso lleva a una razón de cambio igual a 219400 / 100 = 2194 pesos/tonelada producida.
Es una razón de cambio positiva, puesto que al aumentar una variable (la cantidad producida) también aumenta la otra variable (el costo), eso signfica que la función en ese tramo es creciente.
Puesto que la función es una parábola: C(x) = 2x^2 - 6x, tiene un tramo de crecimiento, un vértice, y un tramo de decrecimiento.
Para hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento debes hallar el vértice.
Hay varios métodos para encontrar el vértice de una parábola.
Para esa función me parece sencillo encontrar las raíces de la misma y usar el hecho de que el vértice se encuentra en el punto medio entre las dos raíces.
La raíces se encuentra haciendo C(x) = 0
=> 2x^2 - 6x = 0
=> 2x(x - 3) = 0
=> x = 0 y x = 3
Por tanto, el vértice se encuentra en x = (0 + 3) / 2 = 1,5
En vista de que el coeficiente de x^2 es positivo (2x^2), sabes que la parábola abre hacia arriba y ese punto representa el mínimo de la función.
El valor de la función en x = 1,5 es C(1,5) = 2(1,5)^2 - 6(1,5) = - 4,5.
Por tanto, puedes decir que el costo de producción decrece en el intervalo x = (0, 1.5) y crece en el intervalo (1.5, ∞).
Por lo cual, se explica que entre 500 y 600 ton el costo de producción incrementó y su razón de cambio es positiva.
En ella, se ve que el costo aumenta en 219400 pesos, mientras que la cantidad ha aumentado en 100 toneladas.
Eso lleva a una razón de cambio igual a 219400 / 100 = 2194 pesos/tonelada producida.
Es una razón de cambio positiva, puesto que al aumentar una variable (la cantidad producida) también aumenta la otra variable (el costo), eso signfica que la función en ese tramo es creciente.
Puesto que la función es una parábola: C(x) = 2x^2 - 6x, tiene un tramo de crecimiento, un vértice, y un tramo de decrecimiento.
Para hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento debes hallar el vértice.
Hay varios métodos para encontrar el vértice de una parábola.
Para esa función me parece sencillo encontrar las raíces de la misma y usar el hecho de que el vértice se encuentra en el punto medio entre las dos raíces.
La raíces se encuentra haciendo C(x) = 0
=> 2x^2 - 6x = 0
=> 2x(x - 3) = 0
=> x = 0 y x = 3
Por tanto, el vértice se encuentra en x = (0 + 3) / 2 = 1,5
En vista de que el coeficiente de x^2 es positivo (2x^2), sabes que la parábola abre hacia arriba y ese punto representa el mínimo de la función.
El valor de la función en x = 1,5 es C(1,5) = 2(1,5)^2 - 6(1,5) = - 4,5.
Por tanto, puedes decir que el costo de producción decrece en el intervalo x = (0, 1.5) y crece en el intervalo (1.5, ∞).
Por lo cual, se explica que entre 500 y 600 ton el costo de producción incrementó y su razón de cambio es positiva.
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