Question

La ecuación de la parábola que tiene

foco (3 , 2) y vértice (5 , 2)

Answer 1

Hola que tal, te ayudare

$(x-5)^{2}$+2=fx
fx= $(x-5)^{2}$+2 , ahí ya tendríamos el vértice en 5,2 
y su foco es 3,2 , por lo tanto ya tenemos una idea de como es la parábola que su eje de simetría es perpendicular al eje x y abren hacia la izquierda
Entonces su Modelo seria
$(y-k)^{2} =-4p(x-h)$
Utilizaremos el signo negativo ya que abre hacia la izquierda
Donde h y k son coordenadas de el vértice y p es la distancia que existe entre el vértice y el foco
sabemos que p es la distancia que ahi desde el vertice al foco entonces 
p = 2  por que el vértice esta en 5,2  y su foco en 3,2 entonces la distancia de 3 a 5 es 2 por lo tanto p=2 
Ahora veremos su directriz hasta llegar a x= 0  donde p = 3 
Ahora encontraremos la cuerda perpendicular al eje y
que es 4p
4(2) = 8  entonces sera 4 unidades arriba  de el eje  de  simetría y 4 unidades a la abajo de el eje de simetría
llamemos a los extremos de esa recta L y R
Coordenadas del L
(3,-2)
Coordenadas de R
(3,6)
Ahora si construiremos la ecuacion recordando que el vertices es h,k
y p = 2
Sustituiremos los valores y finalmente encontrando la ecuacion
$(y-k)^{2} =-4p(x-h)$
Donde 
K=2
P = 2
h= 5
$(y-2)^{2} =-4(2)(x-5)$
Al graficar esta ecuacion cumple con su vértice y su foco esta correcta

Answer 2

La ecuación de la parábola de vértice el punto (3,2) y foco (5,2) es:

      (y  -  2)²  =  8(x  -  5)

Desarrollo de la respuesta:

Se quiere hallar la ecuación de la parábola que tiene foco (3, 2) y vértice (5, 2):

1.- Eje principal de la parábola

Dado que el vértice y el foco tienen la misma coordenada  y,  se puede concluir que se encuentran sobre una recta horizontal que representa el eje de la parábola. Este eje es:

   y  =  2    

2.- Distancia del foco al vértice

La distancia entre el foco y el vértice,  p,  se puede calcular por diferencia de las coordenadas    x,    de los puntos conocidos; por lo que:

  p  =  5  -  3  =  2

3.- Elementos de la parábola

Vamos a aplicar las ecuaciones siguientes:

Parábola de eje horizontal:    (y  -  k)²  =  ±4p(x  -  h)

Parábola de eje vertical:    (x  -  h)²  =  ±4p(y  -  k)

donde  

(h, k) son las coordenadas del vértice.

p    es la distancia, sobre el eje, desde el vértice al foco y a la directriz.

En el caso que nos ocupa:

Parábola de eje horizontal con:  

h  =  5  

k  =  2

p  =  2

4.- La ecuación de la parábola de vértice el punto (3,2) y foco (5,2) es:

   (y  -  2)²  =  4(2)(x  -  5)       ⇒       (y  -  2)²  =  8(x  -  5)

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Asignatura: Matemáticas

Nivel: Secundaria