Question

una esfera de plomo de 20.0kg cuelga de un gancho atada de un alambre delgado de 3.50m de longitud y puede oscilar un circulo completo de repente un dardo de acero de 5.00kg la golpea horizontalmente incrustándose en ella. ¿que rapidez inicial mínima debe tener para que la combinación describa un rizo circular completo después el choque?

Answer 1

Claramente es un ejemplo de choque inelastico.
punto A: la parte mas baja de la circunferencia donde se encuentra la esfera                y sera impactada por el dardo.
punto B: la parte mas alta de la circunferencia, en donde Fcp=Fg para asi                    tener la velocidad minima para completar el rizo.
m₁:5kg
m₂:20kg
v₀₁:?
v₀₂:0 (esta en reposo al inicio)
r:radio
g:gravedad, tomare a g=10ms⁻²
E: energia

En todo choque se conserva la cantidad de movimiento
p₀=pf
m₁v₀₁+m₂v₀₂=m₁vf₁+m₂vf₂ → como en el choque las masas se uniran este                                                    nuevo cuerpo tendra una sola velocidad por lo                                                  que: vf₁=vf₂=vA
Despejamos entonces:
m₁v₀₁+m₂v₀₂=m₁vA+m₂vA
m₁v₀₁+m₂v₀₂=(m₁+m₂)vA    →  v₀₂=0
m₁v₀₁=(m₁+m₂)vA  
⇒  $v_{01} = \frac{ (m_{1} +m_{2}) v_{A} }{ m_{1} }$       ... (1)

Ahora tenemos a los cuerpos unidos tras el choque en el punto A,
entonces podemos decir que: E(a)=E(b)
Tomamos como nivel de referencia la linea horizontal q pasa por A, asi tendremos q la Epg=mgh, h=0 solo habra Eκa
⇒ Eκa =  Eκb+Epgb
    (m₁+m₂)v²A/2 = (m₁+m₂)v²B/2+(m₁+m₂)g2r  →  eliminamos (m₁+m₂)
                 v²A/2 = v²B/2+g2r  →  multiplicamos ×2
                    v²A = v²B+4gr       ... (2)

Como se menciono en el punto B:
Fcp=Fg
(m₁+m₂)acp = (m₁+m₂)g      →  recordemos acp=ω²r=v²/r
            v²B/r = g
              v²B = gr

Reemplazando v²B en la ec. 2, tenemos:
v²A = gr+4gr =5gr
 vA = √(5gr)

Reemplazamos vA en la ec. 1 :
$v_{01} = \frac{( m_{1} + m_{2}) \sqrt{5gr} }{ m_{1} }$
Reemplazando datos:
$v_{01} = \frac{(5+20) \sqrt{5(10)(3.5)} }{5} = \frac{25 \sqrt{175} }{5}$

$v_{01} =25 \sqrt{7} =66.144ms^-^2$

Answer 2

Explicación:

Claramente es un ejemplo de choque inelastico.

punto A: la parte mas baja de la circunferencia donde se encuentra la esfera y sera impactada por el dardo.

punto B: la parte mas alta de la circunferencia, en donde Fcp=Fg para asi tener la velocidad minima para completar el rizo.

m₁:5kg

m₂:20kg

v₀₁:?

v₀₂:0 (esta en reposo al inicio)

r:radio

g:gravedad, tomare a g=10ms⁻²

E: energia

En todo choque se conserva la cantidad de movimiento

p₀=pf

m₁v₀₁+m₂v₀₂=m₁vf₁+m₂vf₂ → como en el choque las masas se uniran este nuevo cuerpo tendra una sola velocidad por lo que: vf₁=vf₂=vA

Despejamos entonces:

m₁v₀₁+m₂v₀₂=m₁vA+m₂vA

m₁v₀₁+m₂v₀₂=(m₁+m₂)vA → v₀₂=0

m₁v₀₁=(m₁+m₂)vA

⇒ v_{01} = \frac{ (m_{1} +m_{2}) v_{A} }{ m_{1} }v

01

=

m

1

(m

1

+m

2

)v

A

... (1)

Ahora tenemos a los cuerpos unidos tras el choque en el punto A,

entonces podemos decir que: E(a)=E(b)

Tomamos como nivel de referencia la linea horizontal q pasa por A, asi tendremos q la Epg=mgh, h=0 solo habra Eκa

⇒ Eκa = Eκb+Epgb

(m₁+m₂)v²A/2 = (m₁+m₂)v²B/2+(m₁+m₂)g2r → eliminamos (m₁+m₂)

v²A/2 = v²B/2+g2r → multiplicamos ×2

v²A = v²B+4gr ... (2)

Como se menciono en el punto B:

Fcp=Fg

(m₁+m₂)acp = (m₁+m₂)g → recordemos acp=ω²r=v²/r

v²B/r = g

v²B = gr

Reemplazando v²B en la ec. 2, tenemos:

v²A = gr+4gr =5gr

vA = √(5gr)

Reemplazamos vA en la ec. 1 :

v_{01} = \frac{( m_{1} + m_{2}) \sqrt{5gr} }{ m_{1} }v

01

=

m

1

(m

1

+m

2

)

5gr

Reemplazando datos:

v_{01} = \frac{(5+20) \sqrt{5(10)(3.5)} }{5} = \frac{25 \sqrt{175} }{5}v

01

=

5

(5+20)

5(10)(3.5)

=

5

25

175

v_{01} =25 \sqrt{7} =66.144ms^-^2