Question

Racionaliza el denominador de las siguientes expresiones y simplifica.
Por favor AYÚDENME SE LOS RUEGO ES PARA HOY

Answer 1

a. $\frac{1}{ \sqrt[3]{2xy} }* \frac{ \sqrt[3]{2^{2} x^{2}y^{2} } }{ \sqrt[3]{ 2^{2} x^{2} y^{2} } } = \frac{ \sqrt[3]{ 2^{2} x^{2} y^{2} } }{ \sqrt[3]{ 2^{3} x^{3} y^{3} } }= \frac{ \sqrt[3]{ 2^{2} x^{2} y^{2} } }{2xy} = \frac{ \sqrt[3]{4 x^{2} y^{2} } }{2xy}$

b. $\frac{6a}{ \sqrt[3]{2 a^{2} } }* \frac{ \sqrt[3]{ 2^{2}a } }{ \sqrt[3]{ 2^{2}a } }= \frac{6a \sqrt[3]{4a} }{ \sqrt[3]{ 2^{3} a^{3} } }= \frac{6a \sqrt[3]{4a} }{2a}=3 \sqrt[3]{4a}$

c. $\frac{3a^{2} }{ \sqrt[4]{1-2a^{2} } }* \frac{ \sqrt[4]{(1-2a^{2} )^{3} } }{\sqrt[4]{(1-2a^{2} )^{3} }} = \frac{3a^{2} \sqrt[4]{(1-2a^{2})^{3} } }{1-2a^{2} }$

d. $\frac{2- \sqrt{x-y} }{ \sqrt{x+y} }* \frac{ \sqrt{x+y} }{ \sqrt{x+y} } = \frac{2 \sqrt{x+y}- \sqrt{(x-y)(x+y)} }{ \sqrt{(x+y)^{2} } }= \frac{2 \sqrt{x+y}- \sqrt{x^{2}- y^{2} } }{x+y}$

e. $\frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{3}+ \sqrt{5} } * \frac{ \sqrt{3}- \sqrt{5} }{ \sqrt{3}- \sqrt{5} } = \frac{3- \sqrt{15} }{3-5}= -\frac{3- \sqrt{15} }{2} = \frac{ \sqrt{15}-3 }{2}$

f. $\frac{ \sqrt{a}- \sqrt{b} }{ \sqrt{a}+ \sqrt{b} } * \frac{ \sqrt{a}- \sqrt{b} }{ \sqrt{a}- \sqrt{b} } = \frac{( \sqrt{a}- \sqrt{b})^{2} }{a-b}= \frac{a-2 \sqrt{ab}+b }{a-b}$

Answer 2

1. La fracción $\frac{1}{\sqrt[3]{2*x*y} }$ racionalizada y simplificada queda de la forma $\frac{\sqrt[3]{(2*x*y)^{2}} }{2*x*y }$

Racionalizar una fracción consiste en encontrar una fracción equivalente donde en el denominador no aparezca la raíz. Para ello debemos multiplicar el numerador y denominador de la fracción original por un mismo número, tal como se indica a continuación:

$\frac{1}{\sqrt[3]{2*x*y} }=\frac{1}{(2*x*y)^{1/3} }=\frac{1}{(2*x*y)^{1/3} }*\frac{(2*x*y)^{2/3}}{(2*x*y)^{2/3} } =\frac{(2*x*y)^{2/3}}{(2*x*y)^{(1/3)+(2/3)} }=\frac{(2*x*y)^{2/3}}{2*x*y }=\frac{\sqrt[3]{(2*x*y)^{2}} }{2*x*y }$

2. Si racionalizamos y simplificamos la fracción $\frac{6*a}{\sqrt[3]{2*a^2} }$ obtenemos la siguiente expresión equivalente $3*\sqrt[3]{4}*\sqrt[3]{a}$

Para racionalizar multiplicamos el numerador y denominador de la fracción original por un mismo número, tal como se indica a continuación:

$\frac{6*a}{\sqrt[3]{2*a^2} } = \frac{6*a}{(2*a^2)^{(1/3)}} = \frac{6*a}{(2*a^2)^{(1/3)}} * \frac{(2*a^2)^{(2/3)}}{(2*a^2)^{(2/3)}} =\frac{6*a*(2*a^2)^{(2/3)}}{(2*a^2)^{[(1/3)+(2/3)]}} =\frac{6*a*(2*a^2)^{(2/3)}}{2*a^2}$

Simplificando a la mínima expresión tenemos:

$\frac{6*a}{\sqrt[3]{2*a^2} }=2*3*a*2^{(2/3)}*a^{(4/3)}*2^{(-1)}*a^{(-2)}=3*2^{(1+[2/3)-1]}*a^{[1+(4/3)-2]}=3*2^{(2/3)}*a^{(1/3)}=3*\sqrt[3]{2^2}*\sqrt[3]{a} =3*\sqrt[3]{4}*\sqrt[3]{a}$

3. Al racionalizar y simplificar la fracción $\frac{3*a^2}{\sqrt[4]{1-2*a^2} }$ obtenemos la siguiente fracción equivalente $\frac{3*a^2*\sqrt[4]{(1-2*a^2)^3}}{1-2*a^2 }$

Para racionalizar multiplicamos la fracción original por un factor, tal como se indica a continuación:

$\frac{3*a^2}{\sqrt[4]{1-2*a^2} } =\frac{3*a^2}{(1-2*a^2)^{(1/4)} } =\frac{3*a^2}{(1-2*a^2)^{(1/4)} } *\frac{(1-2*a^2)^{(3/4)}}{(1-2*a^2)^{(3/4)} } =\frac{3*a^2*(1-2*a^2)^{(3/4)}}{(1-2*a^2)^{(1/4)+(3/4)} } =\frac{3*a^2*(1-2*a^2)^{(3/4)}}{1-2*a^2 }$

Simplificando la expresión obtenemos:

$\frac{3*a^2}{\sqrt[4]{1-2*a^2} } =\frac{3*a^2*\sqrt[4]{(1-2*a^2)^3}}{1-2*a^2 }$

4.  Al racionalizar y simplificar la fracción $\frac{2-\sqrt{(x-y)} }{\sqrt{(x+y)} }$ obtenemos la siguiente fracción equivalente $\frac{2*\sqrt{(x+y)}-\sqrt{x^2-y^2} }{(x+y)}$

Para racionalizar multiplicamos la fracción original por un factor, tal como se indica a continuación:

$\frac{2-\sqrt{(x-y)} }{\sqrt{(x+y)} }=\frac{2-\sqrt{(x-y)} }{{(x+y)^{(1/2)}} }=\frac{2-\sqrt{(x-y)} }{{(x+y)^{(1/2)}} }*\frac{(x+y)^{(1/2)} }{{(x+y)^{(1/2)}} }=\frac{[2-\sqrt{(x-y)}]*(x+y)^{(1/2)} }{{(x+y)^{(1/2)+{(1/2)}}} }=\frac{[2-\sqrt{(x-y)}]*(x+y)^{(1/2)} }{{(x+y)} }$

Simplificando la expresión obtenemos:

$\frac{2-\sqrt{(x-y)} }{\sqrt{(x+y)} }=\frac{[2-\sqrt{(x-y)}]*(x+y)^{(1/2)} }{{(x+y)} }=\frac{2*(x+y)^{(1/2)}-(x-y)^{(1/2)}*(x+y)^{(1/2)} }{{(x+y)} }=\frac{2*\sqrt{(x+y)}-\sqrt{(x-y)*(x+y)} }{(x+y)} =\frac{2*\sqrt{(x+y)}-\sqrt{x^2-y^2} }{(x+y)}$

5. Al racionalizar y simplificar la fracción $\frac{\sqrt{3} }{\sqrt{3} +\sqrt{5} }$ obtenemos la siguiente fracción equivalente $-\frac{3-\sqrt{15} }{2}$

Para racionalizar multiplicamos la fracción original por un factor, tal como se indica a continuación:

$\frac{\sqrt{3} }{\sqrt{3} +\sqrt{5} }=\frac{\sqrt{3} }{3^{(1/2)}+5^{(1/2)}}=\frac{\sqrt{3} }{3^{(1/2)}+5^{(1/2)}}*\frac{3^{(1/2)}-5^{(1/2)} }{3^{(1/2)}-5^{(1/2)}}=$

$\frac{\sqrt{3}*[3^{(1/2)}-5^{(1/2)}] }{3^{(1/2)+(1/2)}-3^{(1/2)}*5^{(1/2)}+3^{(1/2)}*5^{(1/2)}-5^{(1/2)+(1/2}}=\frac{3^{(1/2)}*[3^{(1/2)}-5^{(1/2)}] }{3-5}$

Simplificando la expresión obtenemos:

$\frac{\sqrt{3} }{\sqrt{3} +\sqrt{5} }=\frac{3^{(1/2)}*3^{(1/2)}-3^{(1/2)}5^{(1/2)}] }{-2}=\frac{3^{(1/2)+(1/2)}-15^{(1/2)}}{-2} =\frac{3-15^{(1/2)}}{-2} =-\frac{3-\sqrt{15} }{2}$

6. Al racionalizar y simplificar la fracción $\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b} }{\sqrt{a} +\sqrt{b} }$ obtenemos la siguiente fracción equivalente $\frac{a -2*\sqrt{a*b} +b}{a-b}$

Para racionalizar multiplicamos la fracción original por un factor, tal como se indica a continuación:

$\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b} }{\sqrt{a} +\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b} }{a^{(1/2)} +b^{(1/2)}}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b} }{a^{(1/2)} +b^{(1/2)}} *\frac{a^{(1/2)} -b^{(1/2)}}{a^{(1/2)} -b^{(1/2)}} =\frac{[a^{(1/2)} -b^{(1/2)}]*[a^{(1/2)} -b^{(1/2)} ]}{a^{(1/2)+(1/2)} -b^{(1/2)+(1/2)}} =\frac{[a^{(1/2)} -b^{(1/2)}]*[a^{(1/2)} -b^{(1/2)} ]}{a-b}$

Simplificando la expresión obtenemos:

$\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b} }{\sqrt{a} +\sqrt{b}}=\frac{a^{(1/2)+(1/2)} -2*a^{(1/2)}*b^{(1/2)}+b^{(1/2)+(1/2)}}{a-b} =\frac{a -2*\sqrt{a*b} +b}{a-b}$

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