Necesito resolver algunos limites por definición lim (sen(x)/x) x-->infinito.
por favor ayuda.
Klyffor:
Daria uno , lo voy a tratar de hacer pero si quieres adelantate para ver si te da ese valor
Respuestas
Respuesta dada por:
2
Veamos
![L=\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{\sin x}{x}\\ \\
\texttt{Como sabemos }|\sin x|\leq 1\texttt{ entonces }\\ \\
\left|\dfrac{\sin x}{x}\right|\leq \left|\dfrac{1}{x}\right|\\ \\ \\
-\lim\limits_{x\to\infty}\left|\dfrac{1}{x}\right|\leq\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{\sin x}{x}\leq \lim\limits_{x\to\infty}\left|\dfrac{1}{x}\right|\\ \\ \\
\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{\sin x}{x}=0 L=\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{\sin x}{x}\\ \\
\texttt{Como sabemos }|\sin x|\leq 1\texttt{ entonces }\\ \\
\left|\dfrac{\sin x}{x}\right|\leq \left|\dfrac{1}{x}\right|\\ \\ \\
-\lim\limits_{x\to\infty}\left|\dfrac{1}{x}\right|\leq\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{\sin x}{x}\leq \lim\limits_{x\to\infty}\left|\dfrac{1}{x}\right|\\ \\ \\
\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{\sin x}{x}=0](https://tex.z-dn.net/?f=L%3D%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%5Cinfty%7D%5Cdfrac%7B%5Csin+x%7D%7Bx%7D%5C%5C+%5C%5C%0A%5Ctexttt%7BComo+sabemos+%7D%7C%5Csin+x%7C%5Cleq+1%5Ctexttt%7B+entonces+%7D%5C%5C+%5C%5C%0A%5Cleft%7C%5Cdfrac%7B%5Csin+x%7D%7Bx%7D%5Cright%7C%5Cleq+%5Cleft%7C%5Cdfrac%7B1%7D%7Bx%7D%5Cright%7C%5C%5C+%5C%5C+%5C%5C%0A-%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%5Cinfty%7D%5Cleft%7C%5Cdfrac%7B1%7D%7Bx%7D%5Cright%7C%5Cleq%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%5Cinfty%7D%5Cdfrac%7B%5Csin+x%7D%7Bx%7D%5Cleq+%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%5Cinfty%7D%5Cleft%7C%5Cdfrac%7B1%7D%7Bx%7D%5Cright%7C%5C%5C+%5C%5C+%5C%5C%0A%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%5Cinfty%7D%5Cdfrac%7B%5Csin+x%7D%7Bx%7D%3D0)
Ahora demostremos esto mediante la definición de límite
![\texttt{Sea un }\delta\ \textgreater \ 0 \texttt{ y }|x|\ \textgreater \ \delta \texttt{ entonces tenemos}\\ \\
\hspace*{4.2cm}\left|\dfrac{1}{x}\right|\ \textless \ \dfrac{1}{\delta}\\ \\ \\
\texttt{y por otro lado }|\sin x|\leq 1\texttt{ por consiguiente }\\ \\ \\
\hspace*{3.9cm}\left|\dfrac{\sin x}{x}\right|\ \textless \ \dfrac{1}{\delta}\\ \\ \\
\texttt{haciendo }0\ \textless \ \varepsilon=\dfrac{1}{\delta}\texttt{ hemos demostrado la veracidad del l\'imite} \texttt{Sea un }\delta\ \textgreater \ 0 \texttt{ y }|x|\ \textgreater \ \delta \texttt{ entonces tenemos}\\ \\
\hspace*{4.2cm}\left|\dfrac{1}{x}\right|\ \textless \ \dfrac{1}{\delta}\\ \\ \\
\texttt{y por otro lado }|\sin x|\leq 1\texttt{ por consiguiente }\\ \\ \\
\hspace*{3.9cm}\left|\dfrac{\sin x}{x}\right|\ \textless \ \dfrac{1}{\delta}\\ \\ \\
\texttt{haciendo }0\ \textless \ \varepsilon=\dfrac{1}{\delta}\texttt{ hemos demostrado la veracidad del l\'imite}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Ctexttt%7BSea+un+%7D%5Cdelta%5C+%5Ctextgreater+%5C+0+%5Ctexttt%7B+y+%7D%7Cx%7C%5C+%5Ctextgreater+%5C+%5Cdelta+%5Ctexttt%7B+entonces+tenemos%7D%5C%5C+%5C%5C%0A%5Chspace%2A%7B4.2cm%7D%5Cleft%7C%5Cdfrac%7B1%7D%7Bx%7D%5Cright%7C%5C+%5Ctextless+%5C+%5Cdfrac%7B1%7D%7B%5Cdelta%7D%5C%5C+%5C%5C+%5C%5C%0A%5Ctexttt%7By+por+otro+lado+%7D%7C%5Csin+x%7C%5Cleq+1%5Ctexttt%7B+por+consiguiente+%7D%5C%5C+%5C%5C+%5C%5C%0A%5Chspace%2A%7B3.9cm%7D%5Cleft%7C%5Cdfrac%7B%5Csin+x%7D%7Bx%7D%5Cright%7C%5C+%5Ctextless+%5C+%5Cdfrac%7B1%7D%7B%5Cdelta%7D%5C%5C+%5C%5C+%5C%5C%0A%5Ctexttt%7Bhaciendo+%7D0%5C+%5Ctextless+%5C+%5Cvarepsilon%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B%5Cdelta%7D%5Ctexttt%7B+hemos+demostrado+la+veracidad+del+l%5C%27imite%7D)
Ahora demostremos esto mediante la definición de límite
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