Question

Resolver la desigualdad
x (x + -10) ≤ x (8x + 8)

Answer 1

¡Hola!

x(x + -10) ≤ x(8x + 8) 
x² - 10x ≤ 8x² + 8x
0 ≤ 8x² - x² + 8x + 10x
0 ≤ 7x² + 18x 
0 ≤ x(7x + 18)

Para que esa desigualdad sea mayor o igual a cero hay dos opciones: que ambos factores sean positivos o que ambos sean negativos.
Cuando ambos son positivos:
0 ≤ x 
0 ≤ 7x + 18
-18/7 ≤ x
Para que se cumpla que ambos factores sean positivos necesitas calcular la intersección de los dos intervalos:
(0 ≤ x) ∩ (-18/7 ≤ x) = 0 ≤ x
⇒ x∈[0,∞)

Cuando ambos son negativos:
0 ≥ x
0 ≥ 7x + 18
-18/7 ≥ x
Otra vez calculas la intersección de los dos intervalos:
(0 ≥ x) ∩ (-18/7 ≥ x) = -18/7 ≥ x
⇒ x∈(-∞, -18/7]

Y la solución es la unión de esos dos intervalos:
[0,∞)∪(-∞, -18/7]


Saludos!!

Answer 2

$X [X + (-10)] \leq X (8X + 8) \\ \\ X^{2} +(-10X) \leq 8X^2+8X \\ \\ X^2-10X \leq 8X^2+8X \\ \\ -10X-8X \leq 8X^2-X^2 \\ \\ -18X \leq 7X^2 \\ \\ 7X^2+18X \geq 0$
Aplicando formula ecuación de segundo grado:
Terminos
a = 7
b = 18
c = 0

$X= \dfrac{-b+- \sqrt{b^2-4ac} }{2a} \\ \\ X=\dfrac{-(18)+- \sqrt{(18)^2-4(7)(0)} }{2(7)} \\ \\ X=\dfrac{-18+- \sqrt{324-0} }{14} \\ \\ X=\dfrac{-18+- \sqrt{324} }{14} \\ \\ X_1=\dfrac{-18+18}{14}= \dfrac{0}{14} =0 \\ \\ X_2=\dfrac{-18- 18}{14}= \dfrac{-36:2}{14:2} = -\dfrac{18}{7}$

Son positivos se cumple que:

$(X \geq 0)--intervalo$

Si la suma es mayor que 0:

$X+ \dfrac{18}{7} \geq 0 \\ \\ (X \geq - \dfrac{18}{7})--intervalo$

Calculando intersección entre los intervalos:

$X \geq 0=(X \geq -\dfrac{18}{7} )\cap(X \geq 0) \\ \\ \boxed{X\in (0,\infty)}$

Cuando son negativos se cumple que:

$(0 \geq X)--Intervalo$

$(- \dfrac{18}{7} \geq X)--Intervalo$

Calculando intersección cuando son negativos:

$X \leq - \dfrac{18}{7} =(- \dfrac{18}{7} \geq X)\cap(0 \geq X) \\ \\ \boxed{X\in (-\infty,- \frac{18}{7} )}$

Soluciones en X

$- \dfrac{18}{7} \geq X \\ \\ \\ X \geq 0$

Soluciones en intervalos:

$\boxed{(0,\:\infty)\cup(-\infty ,-\dfrac{18}{7})}$

Saludos desde Venezuela