Question

Un cierto cultivo de tomates bajo invernadero tiene una producción (Q(x) en kg), la cual depende de la temperatura en la zona del cultivo (x en °C), según la expresión: Q(x)=(x+1)^{^{2}}(32-x) Calcular cuál es la temperatura óptima a mantener en el invernadero y cuál sería la producción obtenida para la temperatura optima?

Answer 1

Tenemos que:

Producción: Q(x) [kg]
Temperatura: x [°C]

Q(x) = $(x+1) ^{2}$ × (32-x)

Desarrollamos la expresión:

(x² + 2x + 1) × (32-x), multiplicamos:
32x² - $x^{3}$ + 64x - 2x² + 32 - x
- $x^{3}$ + 30x² + 63x + 32

Para que obtengamos un alcance máximo tendrá que cumplirse que:

Q'(x) = 0, derivamos:

-3x² + 60x + 63 = 0 (resolvemos la ecuación de segundo grado)

Se obtiene:
x = 21
x = -1

Debemos estudiar mediante una segunda derivación cual es el valor máximo y cual es el mínimo:

Q''(x) = -6x + 60

Evaluamos cada valor de x:

Q''(21) = -6×21 + 60 = -66 < 0 (por lo que será el valor máximo)
Q''(-1) = -6×-1 + 60 = 66 > 0 (por lo que será el valor mínimo)

Ahora bien, la temperatura óptima para una máxima producción será de 21°.

Por último calcularemos la máxima producción:

Q(21) = $(21+1) ^{2}$ × (32-21) = 5324

Answer 2

La temperatura optima del cultivo de tomates bajo el invernadero debe ser de 21ºC y la producción debe ser de 5324 kg de tomates.

Explicación paso a paso:

Tenemos la siguiente expresión, tal que:

• Q(x) = (x+1)²·(32-x)

La temperatura optima vendrá dada por la temperatura máxima, entonces derivamos, tenemos que:

Q'(x) = 2(x+1)·(32-x) + (x+1)²·(-1)

Q'(x) = 2·(32x - x² + 32 - x) + (-1)·(x²+2x+1)

Q'(x) = -2x² + 62x + 64 -x² -2x -1

Q'(x) = -3x² + 60x + 63

Entonces, igualamos a cero y por factorización despejamos el valor de 'x', tenemos que:

-3x² + 60x + 63 = 0

Tanteamos y tenemos que:

• x₁ = 21
• x₂ = -1

Ahora, con la segunda derivada buscamos el punto máximo, tenemos que:

Q''(x) = -6x + 60

Q''(21) = -6·(21) + 60 = -66 ⇒ máximo

Q(-1) = -6·(-1) + 60 = 66 ⇒ mínimo

Entonces, tenemos que la temperatura óptima es de 21ºC.

Ahora, la producción para esa temperatura será.

Q(21) = (21+1)²·(32-21)

Q(21) = 5324 tomates

Entonces se deben producir 5324 kg de tomates.

Mira otro ejemplo en este enlace https://brainly.lat/tarea/9030483.