Question

Utiliza los teoremas del resto y del factor para determinar si los siguientes polinomios están factorizodos correctamente a. x al cubo- 3x al cuadrado+ 2x+3= (x+5) (x+1) (x-2) b. x al cubo- 2x al cuadrado+ 1= (x-1)al cuadrado (x+1)al cuadrado c. x al cubo-4x al cuadrado-7x-10= (x-1) (x-2) (x-5) d. 2x al cuadrado- 4x+2= 2 (x+1)al cuadrado

Answer 1

RESOLUCIÓN.

a. Factorizado de forma incorrecta.

b. Factorizado de forma incorrecta.

c. Factorizado de forma incorrecta.

d. Factorizado de forma incorrecta.

Explicación.

El teorema del factor dice que un polinomio de la forma (x - a) es factor de otro polinomio f(x) si f(a) = 0. En el caso del problema se tiene que la factorización es correcta si al evaluar la función su resultado es cero.

El teorema del resto dice que el resto de polinomio f(x) que se divide entre otro polinomio de la forma (x - a), es el resultado de evaluar f(a). En el caso del problema para que la factorización sea correcta f(a) = 0.

a) x³ - 3x² + 2x + 3 = (x + 5)(x + 1)(x - 2)

Evaluando el polinomio sin factorizar entre sus posibles factores.

x1 = -5

f(-5) = (-5)³ - 3(-5)² + 2(-5) + 3 = -207

Según el teorema del factor como f(-5) ≠ 0 entonces x + 5 no es un factor de f(x).

Según el teorema del resto como f(-5) = -207, entonces x + 5 no proporciona una división exacta.

Se concluye que la factorización es incorrecta.

b. x³ - 2x² + 1 = (x - 1)² * (x + 1)²

Evaluando el polinomio sin factorizar entre sus posibles factores.

x1 = -1

f(-1) = (-1)³ - 2(-1)² + 1 = -2

Se concluye que la factorización es incorrecta.

c. x³ - 4x² - 7x - 10 = (x-1)*(x-2)*(x-5)

Evaluando el polinomio sin factorizar entre sus posibles factores.

x1 = 1

f(1) = (1)³ - 4(1)² - 7(1) - 10 = -20

Se concluye que la factorización es incorrecta.

d. 2x² - 4x + 2 = 2*(x + 1)²

Reordenando el polinomio:

2*(x² - 2x + 2) = 2*(x + 1)²

x² - 2x + 2 = (x + 1)²

Evaluando el polinomio sin factorizar entre sus posibles factores.

x = -1

f(-1) = (-1)² - 2(-1) + 2 = 5

Se concluye que la factorización es incorrecta.