Question

Jaime esta armando un sistema mecanico para regadio y requiere un piñon basado en un poligono regular. Su ultima prueba determino que es necesario aumentar un lado del poligono regular base, con lo que el angulo interior del poligono regular aumenta en 12 grados. Si en cada lado del poligono se forma un diente. ¿ cual es el numero de dientes que tendra el piñon? Considere que el angulo interiorbde un poligono es igual a 180grados(n-2)/n donde n representa el numero de ladosbdel poligono regular.

Answer 1

Fórmula del ángulo interior:

ángulo interior = 180° (n - 2) / n

Al aumentar el lado en 1, el nuevo ángulo interior será:

nuevo ángulo interior = 180° (n + 1 - 2) / (n +1) = 180° (n - 1) / (n + 1)

aumento del ángulo = 12° =>

180 (n - 1) / (n +1 ) - 180 (n -2) / n = 12

Ahora, resolvemos esa ecuación.

1) Divide todos los términos (ambos miembros) entre 12

15 (n - 1) / (n + 1) - 15 (n -2) / n = 1

2) Expande los númeradores (usa propiedad distributiva)

[15n - 15] / (n + 1) - [15n - 30] / n = 1 

3) Multiplica todo por n(n+1)

[15n - 15]n - [15n - 30] (n + 1) = n(n+1)

4) Expande todos los productos

15n^2 - 15n - 15n^2 - 15n + 30n + 30 = n^2 + n

5) Suma términos semejantes y resuelve

30 = n^2 + n

n^2 + n - 30 = 0

6) Factoriza

(n + 6 ) (n - 5) = 0 => n = -6 y n = 5

Solo tiene sentido físico el resultado positivo

Por tanto, el polígono original tiene 5 lados y el polígno final tendrá 6 lados, es decir, el piñon tendrá 6 dientes.

7) Verificacion

Polígono de 5 lados: angulo = 180° ( 5 - 2) / 5 = 180° * 3 / 5 = 108°

Polígono de 6 lados: ángulo = 180° ( 6 - 2) / 6 = 120°

Diferencia en los ángulos = 120° - 108° = 12°.

Respuesta: 6 dientes.