Las coordenadas A (0; 2√2), B (2√2; 0) y C (x; y) son los vértices de un triángulo equilátero, calcule las coordenadas del vértice C sabiendo que pertenece al I cuadrante.
Respuestas
Respuesta dada por:
4
Considerando que estamos en el caso de un triángulo equilátero, todos sus lados son iguales o miden lo mismo. Aplicaremos la fórmula de distancia entre dos puntos (entre A y B) para conocer cuanto mide sus lados:
![l = \sqrt{(x2-x1)^{2} +(y2-y1)^{2}} l = \sqrt{(x2-x1)^{2} +(y2-y1)^{2}}](https://tex.z-dn.net/?f=l+%3D++%5Csqrt%7B%28x2-x1%29%5E%7B2%7D+%2B%28y2-y1%29%5E%7B2%7D%7D+)
![l = \sqrt{(2 \sqrt{2} -0)^{2} +(0-2 \sqrt{2} )^{2}} = 4 l = \sqrt{(2 \sqrt{2} -0)^{2} +(0-2 \sqrt{2} )^{2}} = 4](https://tex.z-dn.net/?f=l+%3D+%5Csqrt%7B%282+%5Csqrt%7B2%7D+-0%29%5E%7B2%7D+%2B%280-2+%5Csqrt%7B2%7D+%29%5E%7B2%7D%7D+%3D+4)
Buscaremos el punto medio entre A y B:
![(\frac{x1+x2}{2}+ \frac{y1+y2}{2}) (\frac{x1+x2}{2}+ \frac{y1+y2}{2})](https://tex.z-dn.net/?f=+%28%5Cfrac%7Bx1%2Bx2%7D%7B2%7D%2B+%5Cfrac%7By1%2By2%7D%7B2%7D%29)
![(\frac{0+2 \sqrt{2} }{2}+ \frac{2 \sqrt{2} +0}{2}) = ( \sqrt{2}, \sqrt{2} ) (\frac{0+2 \sqrt{2} }{2}+ \frac{2 \sqrt{2} +0}{2}) = ( \sqrt{2}, \sqrt{2} )](https://tex.z-dn.net/?f=+%28%5Cfrac%7B0%2B2+%5Csqrt%7B2%7D+%7D%7B2%7D%2B+%5Cfrac%7B2+%5Csqrt%7B2%7D+%2B0%7D%7B2%7D%29+%3D+%28+%5Csqrt%7B2%7D%2C+%5Csqrt%7B2%7D+%29)
Calcularemos la altura del triángulo equilátero:
(está será la distancia entre el punto medio y C)
Expresamos mediante la distancia del punto medio y C:
![2 \sqrt{3} = \sqrt{(x2- \sqrt{2} )^{2} +(y2- \sqrt{2})^{2}} 2 \sqrt{3} = \sqrt{(x2- \sqrt{2} )^{2} +(y2- \sqrt{2})^{2}}](https://tex.z-dn.net/?f=2+%5Csqrt%7B3%7D+%3D+%5Csqrt%7B%28x2-+%5Csqrt%7B2%7D+%29%5E%7B2%7D+%2B%28y2-+%5Csqrt%7B2%7D%29%5E%7B2%7D%7D)
![12= (x2- \sqrt{2} )^{2} +(y2- \sqrt{2})^{2} 12= (x2- \sqrt{2} )^{2} +(y2- \sqrt{2})^{2}](https://tex.z-dn.net/?f=12%3D+%28x2-+%5Csqrt%7B2%7D+%29%5E%7B2%7D+%2B%28y2-+%5Csqrt%7B2%7D%29%5E%7B2%7D)
![12= ( x^{2} - 2\sqrt{2}x+2) + ( y^{2} - 2\sqrt{2}y+2) 12= ( x^{2} - 2\sqrt{2}x+2) + ( y^{2} - 2\sqrt{2}y+2)](https://tex.z-dn.net/?f=12%3D++%28+x%5E%7B2%7D+-+2%5Csqrt%7B2%7Dx%2B2%29+%2B+%28+y%5E%7B2%7D+-+2%5Csqrt%7B2%7Dy%2B2%29+)
Para que sea un triángulo equilátero x = y, entonces:
![12= ( x^{2} - 2\sqrt{2}x+2) + ( x^{2} - 2\sqrt{2}x+2) 12= ( x^{2} - 2\sqrt{2}x+2) + ( x^{2} - 2\sqrt{2}x+2)](https://tex.z-dn.net/?f=12%3D+%28+x%5E%7B2%7D+-+2%5Csqrt%7B2%7Dx%2B2%29+%2B+%28+x%5E%7B2%7D+-+2%5Csqrt%7B2%7Dx%2B2%29+)
![12 = 2 x^{2} - 4\sqrt{2}x +4 12 = 2 x^{2} - 4\sqrt{2}x +4](https://tex.z-dn.net/?f=12+%3D+2+x%5E%7B2%7D+-+4%5Csqrt%7B2%7Dx+%2B4)
![2 x^{2} - 4\sqrt{2}x -8 = 0 2 x^{2} - 4\sqrt{2}x -8 = 0](https://tex.z-dn.net/?f=2+x%5E%7B2%7D+-+4%5Csqrt%7B2%7Dx+-8+%3D+0)
De aquí se obtiene: x = 3.8637 = y
Comprobamos que se cumpla la igualdad:
![\sqrt{(3.8637- \sqrt{2} )^{2} +(3.867- \sqrt{2})^{2}} = 3.46 = 2 \sqrt{3} \sqrt{(3.8637- \sqrt{2} )^{2} +(3.867- \sqrt{2})^{2}} = 3.46 = 2 \sqrt{3}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Csqrt%7B%283.8637-+%5Csqrt%7B2%7D+%29%5E%7B2%7D+%2B%283.867-+%5Csqrt%7B2%7D%29%5E%7B2%7D%7D+%3D+3.46+%3D+2+%5Csqrt%7B3%7D+)
Expresamos la distancia de A y C:
= 3.99 ≈ 4
Expresamos la distancia de B y C:
= 3.99 ≈ 4
Buscaremos el punto medio entre A y B:
Calcularemos la altura del triángulo equilátero:
Expresamos mediante la distancia del punto medio y C:
Para que sea un triángulo equilátero x = y, entonces:
De aquí se obtiene: x = 3.8637 = y
Comprobamos que se cumpla la igualdad:
Expresamos la distancia de A y C:
Expresamos la distancia de B y C:
AlexMaster18:
Gracias
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