Question

Las coordenadas A (0; 2√2), B (2√2; 0) y C (x; y) son los vértices de un triángulo equilátero, calcule las coordenadas del vértice C sabiendo que pertenece al I cuadrante.

Answer 1

Considerando que estamos en el caso de un triángulo equilátero, todos sus lados son iguales o miden lo mismo. Aplicaremos la fórmula de distancia entre dos puntos (entre A y B) para conocer cuanto mide sus lados:

$l = \sqrt{(x2-x1)^{2} +(y2-y1)^{2}}$

$l = \sqrt{(2 \sqrt{2} -0)^{2} +(0-2 \sqrt{2} )^{2}} = 4$

Buscaremos el punto medio entre A y B: 

$(\frac{x1+x2}{2}+ \frac{y1+y2}{2})$

$(\frac{0+2 \sqrt{2} }{2}+ \frac{2 \sqrt{2} +0}{2}) = ( \sqrt{2}, \sqrt{2} )$

Calcularemos la altura del triángulo equilátero:

$l = \frac{ l\sqrt{3} }{2} = \frac{ 4\sqrt{3} }{2} = 2 \sqrt{3}$ (está será la distancia entre el punto medio y C)

Expresamos mediante la distancia del punto medio y C:

$2 \sqrt{3} = \sqrt{(x2- \sqrt{2} )^{2} +(y2- \sqrt{2})^{2}}$

$12= (x2- \sqrt{2} )^{2} +(y2- \sqrt{2})^{2}$

$12= ( x^{2} - 2\sqrt{2}x+2) + ( y^{2} - 2\sqrt{2}y+2)$

Para que sea un triángulo equilátero x = y, entonces:

$12= ( x^{2} - 2\sqrt{2}x+2) + ( x^{2} - 2\sqrt{2}x+2)$

$12 = 2 x^{2} - 4\sqrt{2}x +4$

$2 x^{2} - 4\sqrt{2}x -8 = 0$

De aquí se obtiene: x = 3.8637 = y

Comprobamos que se cumpla la igualdad: 

$\sqrt{(3.8637- \sqrt{2} )^{2} +(3.867- \sqrt{2})^{2}} = 3.46 = 2 \sqrt{3}$

Expresamos la distancia de A y C:

$\sqrt{(3.8637- 0)^{2} +(3.8637- 2\sqrt{2})^{2}}$ = 3.99 ≈ 4

Expresamos la distancia de B y C:

$\sqrt{(3.8637- 2 \sqrt{2} )^{2} +(3.8637- 0)^{2}}$ = 3.99 ≈ 4