Question

Supongamos 1 industria farmacéutica que produce tres medicamentos diferentes de productos en función de las cantidades que usen de los elementos x, y, z expresados en miligramos:
El medicamento A requiere 3 unidades de x, 1 unidad de y, y 2 unidades de z.  El medicamento B necesita 2 unidades de x, 2 unidades de y, y 5 unidades de z. El medicamento C precisa 3 unidad de x, 3 unidades de y, y 1 unidad de z. Si las demandas de la industria farmacéutica son 1360 cápsulas para el medicamento A, 1950 cápsulas para el B y 1430 para el C, determina cuáles son los niveles de producción de los elementos x, y, z, (expresados en miligramos mg) que permiten el equilibrio de esta economía.
ayuda por favor paso a paso

Answer 1

Dado que se conoce las proporciones de los elementos usados por cada tipo de cápsula se procederá a reescribirlo en modo de ecuaciones

 

3x + y + 2z = 1360 (i)

2x + 2y + 5z = 1950 (ii)

3x + 3y + z = 1430 (iii)

 

Con lo cual se tiene un sistema de 3 x 3, es decir 3 ecuaciones con 3 incógnitas. Resolviendo el sistema encontraremos los valores de las varibles ‘x’, ‘y’ y  ‘z’ que satisfagan las condiciones

 

Usaremos el método de simplificación de variables aplicando operaciones de suma y resta en las ecuaciones y multiplicando por un coeficiente las ecuaciones a ambos lados para no alterar la ecuación, esto se denomina artificio matemático

 

(iv) = 2(i) – 3(ii)

2(i): 6x + 2y + 4z = 2720

-3(ii): -6x – 6y – 15z = -5850

(iv): -4y – 11z = -3130

 

(v) = (i) – (iii)

(i): 3x + y + 2z = 1360

-(iii): -3x - 3y - z = -1430

(v): -2y + z = -70

 

(vi) = (iv) – 2(v)

(iv): -4y – 11z = -3130

-2(v): 4y – 2z = 140

(vi): -13z = -2990

 

De la ecuación (vi) despejamos el valor de ‘z’, entonces:

 

-13z = -2990

z = 230

 

Reemplazamos el valor de ‘z’ en (v) para obtener el valor de ‘y’

 

-2y + 230 = -70

-2y = -300

y = 150

 

Reemplazamos los valores conocidos en (i) para obtener el valor de ‘x’

 

3x + (150) + 2(230) = 1360

3x = 1360 – 150 – 460

3x = 750

x = 250

 

Entonces, los valores de las incógnitas que satisfacen las condiciones dadas en el problema son:

 

x = 250mg

y = 150mg

z = 230mg