Question

Ejercicios resueltos de determinantes de orden 4 !

Answer 1

Te presentare un ejemplo completo de matriz de orden 4 (4 filas y 4 columnas) resolviendo por método de los cofactores:

$\left[\begin{array}{cccc}2&3&-1&2\\1&6&5&0\\0&2&3&1\\5&0&1&-2\end{array}\right]$

Fijamos la tercera fila:

|A| = 0A31 + 2A32 + 3A33 + 1A34
|A| =  2A32 + 3A33 + 1A34

Donde:
A32 = $(-1)^{3+2}$ * m32
A33 = $(-1)^{3+3}$ * m33
A34 = $(-1)^{3+4}$ * m34

Ahora bien formamos una matriz 3x3 calculando el determinante en cada caso:

m32 = $\left[\begin{array}{ccc}2&-1&2\\1&5&0\\5&1&-2\end{array}\right]$ (eliminando la tercera fila y segunda columna de la matriz 4x4)

m32 = [(2*5*-2)+(-1*0*5)+(1*1*2)] - [(5*5*2)+(1*0*2)+(-2*1*-1)]

m32 = -18 - 52 = -70

Entonces: A32 = $(-1)^{3+2}$ * -70 = 70

m33 = $\left[\begin{array}{ccc}2&3&2\\1&6&0\\5&0&2\end{array}\right]$

m33 = [(2*6*2)+(3*0*5)+(2*1*0)]-[(5*6*2)+(0*0*2)+(-2*1*3)]

m33 = -24-54 = -78

Entonces: A33 = $(-1)^{3+3}$ * -78 = -78

m34 = $\left[\begin{array}{ccc}2&3&-1\\1&6&5\\5&0&1\end{array}\right]$

m34 = [(5*6*-1)+(0*5*2)+(-1*1*0)] - [(5*6*-1)+(0*5*2)+(1*1*3)]

m34 = 87+27 =114

Entonces: A34 = $(-1)^{3+4}$ * 114 = -114

Ya tenemos los tres cofactores así que:

|A| =  2*70 + 3*-78 + 1*-114 = 140 - 234 - 114 = -208 (este sería la determinante de la matriz 4x4)