Question

ayuda porfavor tema optimización

Answer 1

Veamos:  $1\L \equiv 1\text{ dm}^3$
Sea $r$ el radio de la base y $h$ la altura, calculemos

1) el volumen del cilindro
                                        $V=\pi r^2h$

2) el área de la hojalata sin tapa
                                 $A=\pi r^2+2\pi r h$

3) Por dato tenemos
                               $1\text{ dm}^3=\pi r^2h$

hay que deshacernos de una variable, digamos de h
                           $h=\dfrac{1}{\pi r^2}\text{ dm}$

4) reemplacemos (3) en (2)

                      $A(r)=\pi r^2+2\pi r \cdot \dfrac{1}{\pi r^2}\\ \\ A(r)=\pi r^2+ \dfrac{2}{r}$

5) Hallemos el mínimo valor de A

$A(r)=\pi r^2+ \dfrac{2}{r}\\ \\ \\ \dfrac{dA}{dr}=2\pi r-\dfrac{2}{r^2}\\ \\ \\ \texttt{Puntos cr\'iticos (para r\ \textgreater \ 0): }\\ \\ 2\pi r-\dfrac{2}{r^2}=0\\ \\ \\ r=\sqrt[3]{\dfrac{1}{\pi}}\\ \\ \texttt{Si }0\ \textless \ r\ \textless \ \sqrt[3]{\dfrac{1}{\pi}}\Longrightarrow A'(r)\ \textless \ 0\\ \\ \\ \texttt{Si }r\ \textgreater \ \sqrt[3]{\dfrac{1}{\pi}}\Longrightarrow A'(r)\ \textgreater \ 0\\ \\ \\ \texttt{Entonces }r=\sqrt[3]{\dfrac{1}{\pi}} \texttt{ es un punto de extremo relativo, o m\'as}\\ \texttt{espec\'ificamente es un punto de m\'inimo.}$

6)  Por ende las dimensiones son

                                   $\boxed{\boxed{r=\dfrac{1}{\sqrt[3]{\pi}}\text{ dm}=h}}$