Question

La recta de ecuación y=-x+4 intersecta la circunferencia de ecuación x2+y2+4x-6y+4=0 en: !

Answer 1

Antes de empezar hay que aclarar que la recta puede cortar a la circunferencia en 2 puntos o en 1 solo punto, este último caso se da si la recta es tangente a la circunferencia, vamos a ver cuántos puntos podemos hallar:

Para hallar el punto o los puntos que tienen en común la recta y la circunferencia debemos reemplazar una de las variables en la otra ecuación, en este caso ya tenemos despejada la letra Y en la ecuación de la recta, vamos a reemplazarla en la ecuación de la circunferencia y resolvemos todas las operaciones hasta obtener el valor o los valores de X:

$x^2 + y^2+4x-6y+4=0$

Reemplazamos la letra Y por la ecuación de la recta.

$x^2 + (-x+4)^2+4x-6(-x+4)+4=0$

Resolvemos ese binomio al cuadrado de la forma $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. 

$x^2+x^2-8x+16+4x+6x-24+4=0 \\ 2x^2+2x-4=0 \\ 2(x^2+x-2) = 0$

Podemos pasar ese 2 que está multiplicando toda la expresión a dividir al 0, y obviamente desaparecerá, después lo único que habrá que hacer es factorizar la expresión, supongo que sabes como factorizar si no me preguntas.

$x^2+x-2=0 \\ (x+2)(x-1)=0$

Ahora por el teorema del factor nulo tenemos que las 2 posibles soluciones de X son $x_1 = -2$ y $x_2 = 1$, vamos a reemplazar ambos valores en cualquiera de las ecuaciones, puede ser en la de la circunferencia o en la de la recta, por simplicidad vamos a reemplazarlos en la ecuación de la recta:

Reemplazando $x_1$ obtenemos:

$y_1 = -(-2) + 4\\ y_1 = 6$

Reemplazando $x_2$ obtenemos:

$y_2 = -1 + 4\\ y_2 = 3$

Finalmente concluimos que los puntos en los cuales la recta intersecta la circunferencia son $[-2,6]$ y $[1, 3]$, te adjunto una imagen para comprobarlo.

Cualquier duda me avisas, fue un placer, saludos.