En una fiesta cada persona saludo exactamente 3 personas.Si hubo 123 saludos cuantas personas asistieron a la fiesta
a)67 b)77 c)82 d)101
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5
Trataré de hacerme explicar , espero se entienda.
Lo que hice fue hallar un patrón que relacione de algún modo número de saludos con cantidad de personas con dicha condición ( 3 saludos por persona) . Al hacerlo encontré que se generaban 2 patrones distintos uno cunado la cantidad de personas es par y otro patrón para cuando la cantidad de personas es impar.
CASO 1
Patrón cuando la cantidad de personas es par.
Para hallar el patrón tabulé todos los saludos que se pueden dar con 4 , 6 y 8 personas. Ahora como saber cuantos saludos se pueden dar en cada caso usé la fórmula de conteo de combinación (se muestra en la figura ).
Para 4 personas C = 6 saludos totales
(4,1),(4,2),(4,3),(3,1),(3,2),(2,1).
En este caso cada persona (1,2,3 y 4) realiza 3 saludos de modo que se cumple la condición .
Para 6 personas C= 15 saludos totales.
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(4,3),(4,2),(4,1),(3,2),(3,1),(2,1).
Aquí no se cumple porque cada persona realiza n- 1 saludos , osea n=6 ⇒ 6-1 = 5 saludos realiza cada persona por lo que debemos eliminar 6 saludos para que se cumpla la condición quedando así para n=6 , 9 saludos .
Para cuando hay 8 personas n=8 ⇒ C= 28 saludos totales.
No los tabulo porque son bastantes pero si los haces verás que cada persona realiza n-1 saludos osea 8-1 = 7 saludos , por tanto deberemos eliminar 16 saludos para que se cumpla la condición quedando para n= 8 , 12 saludos .
Con estos 3 análisis ya podemos casar el patrón .
n: cantidad de personas
C(n, 2) : Combinación de n de 2 en 2.
n= 4 ⇒ # saludos = 6 = 6 - 0 = C(4,2) - 0 = C(4,2) - 4* (4-4)/2
n= 6 ⇒ # saludos = 9 =15 - 6 = C(6,2) -6 = C(6,2) - 6* (6-4)/2
n= 8 ⇒ # saludos = 12 = 28 - 16 = C(8,2) -16 = C(8,2) - 8*(8-4)/2
La fórmula general para una cantidad de personas n es :
n ⇒ # saludos = C(n,2) - n*(n-4)/2
Como el ejercicio dice que # saludos = 123 remplazamos en la fórmula que encontramos y hallamos n .
Te lo dejo desarrollado en la 2da imagen .
Una forma de comprobar que el patrón es correcto por otro vía matemática es que hay una relación lineal entre cantidad de saludos totales y cantidad de saludos por personas , lo muestro como regla de 3 simple.
Cuando n= 4 personas
#saludos totales saludos por persona
6 3 = (4-1)
Cuando n= 6 personas
#saludos totales saludos por persona
15 5 = (6-1)
x 3 (estamos interesados en 3 saludos por per)
x= 9 saludos
Vemos que coincide con lo que encontramos al tabular los saludos
Para comprobar
Cuando n= 8 personas
#saludos totales saludos por persona
28 7 = (8-1)
x 3 (estamos interesados en 3 saludos por per)
x= 12 saludos .
Vemos que otra vez coincide . Con n= 4 ya se cumplía directamente , por tanto compruebas que la relación es lineal entre estas 2 variables así :
Cuando tenemos 82 personas ,usando la fórmula de combinación obtenemos C(82,2) = 3321 saludos totales
#saludos totales saludos por persona
3321 81= ( 82-1)
x 3 (estamos interesados en 3 saludos por per)
x= 123 saludos , lo cual es correcto .
El patrón de número de personas impares no es necesario mostrarlo porque la respuesta es una cantidad par, en toda caso ese patrón era solo un poco más complicado y no lo pude obtener .
Lo que hice fue hallar un patrón que relacione de algún modo número de saludos con cantidad de personas con dicha condición ( 3 saludos por persona) . Al hacerlo encontré que se generaban 2 patrones distintos uno cunado la cantidad de personas es par y otro patrón para cuando la cantidad de personas es impar.
CASO 1
Patrón cuando la cantidad de personas es par.
Para hallar el patrón tabulé todos los saludos que se pueden dar con 4 , 6 y 8 personas. Ahora como saber cuantos saludos se pueden dar en cada caso usé la fórmula de conteo de combinación (se muestra en la figura ).
Para 4 personas C = 6 saludos totales
(4,1),(4,2),(4,3),(3,1),(3,2),(2,1).
En este caso cada persona (1,2,3 y 4) realiza 3 saludos de modo que se cumple la condición .
Para 6 personas C= 15 saludos totales.
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(4,3),(4,2),(4,1),(3,2),(3,1),(2,1).
Aquí no se cumple porque cada persona realiza n- 1 saludos , osea n=6 ⇒ 6-1 = 5 saludos realiza cada persona por lo que debemos eliminar 6 saludos para que se cumpla la condición quedando así para n=6 , 9 saludos .
Para cuando hay 8 personas n=8 ⇒ C= 28 saludos totales.
No los tabulo porque son bastantes pero si los haces verás que cada persona realiza n-1 saludos osea 8-1 = 7 saludos , por tanto deberemos eliminar 16 saludos para que se cumpla la condición quedando para n= 8 , 12 saludos .
Con estos 3 análisis ya podemos casar el patrón .
n: cantidad de personas
C(n, 2) : Combinación de n de 2 en 2.
n= 4 ⇒ # saludos = 6 = 6 - 0 = C(4,2) - 0 = C(4,2) - 4* (4-4)/2
n= 6 ⇒ # saludos = 9 =15 - 6 = C(6,2) -6 = C(6,2) - 6* (6-4)/2
n= 8 ⇒ # saludos = 12 = 28 - 16 = C(8,2) -16 = C(8,2) - 8*(8-4)/2
La fórmula general para una cantidad de personas n es :
n ⇒ # saludos = C(n,2) - n*(n-4)/2
Como el ejercicio dice que # saludos = 123 remplazamos en la fórmula que encontramos y hallamos n .
Te lo dejo desarrollado en la 2da imagen .
Una forma de comprobar que el patrón es correcto por otro vía matemática es que hay una relación lineal entre cantidad de saludos totales y cantidad de saludos por personas , lo muestro como regla de 3 simple.
Cuando n= 4 personas
#saludos totales saludos por persona
6 3 = (4-1)
Cuando n= 6 personas
#saludos totales saludos por persona
15 5 = (6-1)
x 3 (estamos interesados en 3 saludos por per)
x= 9 saludos
Vemos que coincide con lo que encontramos al tabular los saludos
Para comprobar
Cuando n= 8 personas
#saludos totales saludos por persona
28 7 = (8-1)
x 3 (estamos interesados en 3 saludos por per)
x= 12 saludos .
Vemos que otra vez coincide . Con n= 4 ya se cumplía directamente , por tanto compruebas que la relación es lineal entre estas 2 variables así :
Cuando tenemos 82 personas ,usando la fórmula de combinación obtenemos C(82,2) = 3321 saludos totales
#saludos totales saludos por persona
3321 81= ( 82-1)
x 3 (estamos interesados en 3 saludos por per)
x= 123 saludos , lo cual es correcto .
El patrón de número de personas impares no es necesario mostrarlo porque la respuesta es una cantidad par, en toda caso ese patrón era solo un poco más complicado y no lo pude obtener .
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