Question

Determinar los lados del triangulo rectangulo del que se conocen el perimetro p=60 cm y la altura sobre la hipotenusa h= 12cm

Answer 1

Hola: La formula del área del triangulo es:

$Área = \frac{(base)(altua)}{2}$

1.- Cuando la base del triangulo es la hipotenusa, la altura es h.
2.- Cuando la base del triangulo es un cateto, la altura es el otro cateto.

El área es la misma, ya que se trata de la misma figura, independientemente de lado que se tomado como base. Solo cambia la altura.

Concluimos que:

$\frac{(a)(h)}{2} = \frac{(b)(c)}{2} =Area$

Multiplicando ambos miembros por 2, obtenemos:

ah=bc

En este triangulo rectángulo, la hipotenusa es a, tenemos:

$a^{2}=b^{2}+c^{2}$  Ecuación (1)

Con los datos del perímetro tenemos:

a+b+c=60,  podemos hacer  b+c=60-a    Ecuación (2)

Si elevamos al cuadrado ambos miembros tenemos.

$(b+c)^{2} =(p-a)^{2}$
$b^{2}+2bc+c^{2}=p^{2}-2pa+a^{2}$, pero $a^{2}=b^{2}+c^{2}$  

$a^{2}+2bc= p^{2}-2pa+a^{2}$

$2bc= p^{2}-2pa$ y sabemos que bc = ah

$2ah= p^{2}-2pa$
$2ah+2pa= p^{2}$
$2a(h+p)= p^{2}$
$a=\frac{p^{2}}{2(h+p)}$
$a=\frac{60^{2}}{2(12+60)}=\frac{3600}{144}=25$

b+c=p-a=60-25=35,  b+c=35,   b = 35 - c  Ecuacion (3)

ah=bc = (25)(12)=300,   bc = 300  sustituimos b de la ecuacion (3)

bc=300,   (35-c)c=300; 

$35c- c^{2} =300$

$c^{2}-35c+300 =0$, resolvemos como un producto.

(c-20)(c-15)=0, las soluciones de c son: c=20 y c=15

Tomamos que c=15, entonces b=35-c, b=20

Los datos buscados son:

a=25, b=20, c=15

a+b+c=25+20+15=60

Saludos !!!!