Question

ayuda con esta ecuación diferencial....... 3xy'-2y=x^3/y^2

Answer 1

$3xy^2y'-2y^3=x^3\\ \\ 3xy^2dy=(x^3+2y^3)dx\\ \\ (x^3+2y^3)dx - 3xy^2dy=0\\ \\ \texttt{Buscaremos un factor integrante para convertirla en una EDO}\\ \texttt{homogenea. Sea en principio }\phi =\phi(x,y), \texttt{ entonces}:\\ \\ P=(x^3+2y^3)\phi\to P_y=6y^2\phi+(x^3+2y^3)\phi_y\\ \\ Q=- 3xy^2\phi\to Q_x=-3y^2\phi-3xy^2\phi_x\\ \\ \\ \texttt{A primera vista nos comnvendr\'ia que no aparezca el t\'ermino}\\\\ (x^3+2y^3)\phi_y\texttt{ es decir }\phi=\phi(x), \texttt{pues sigamos nuestra intuici\'on}$

$P=(x^3+2y^3)\phi\to P_y=6y^2\phi\\ \\ Q=- 3xy^2\phi\to Q_x=-3y^2\phi-3xy^2\phi_x\\ \\ \\ \texttt{Luegose debe verificar }P_y=Q_x\\ \\ 6y^2\phi=-3y^2\phi-3xy^2\phi_x\\ \\ 9y^2\phi=-3xy^2\phi_x\\ \\ -3\phi=x\phi_x\\ \\ -\dfrac{3}{x}=\dfrac{\phi_x}{\phi}\\ \\ \\ -\dfrac{3}{x}dx=\dfrac{1}{\phi}d\phi\\ \\ \\ \displaystyle \int-\dfrac{3}{x}dx=\int\dfrac{1}{\phi}d\phi\\ \\ \\ -3\ln x=\ln \phi\\ \\ \boxed{\phi =\dfrac{1}{x^3}}$

Entonces tendríamos la siguiente EDO

$(x^3+2y^3)\phi ~dx - 3xy^2\phi ~dy=0\\ \\ \dfrac{x^3+2y^3}{x^3}dx-\dfrac{3xy^2}{x^3}dy=0\\ \\ \\ \left(1+\dfrac{2y^3}{x^3}\right)dx-\dfrac{3y^2}{x^2}dy=0\\ \\ \\ \texttt{Ahora encontraremos un }F\texttt{ tal que }\\ \\ \\ \hspace*{2.5cm}dF=0\iff F_x~dx+F_y~dy=0\\ \\ \\ \texttt{O sea: } F_x=1+\dfrac{2y^3}{x^3}\wedge F_y=-\dfrac{3y^2}{x^2}\\ \\ \\ F_y=-\dfrac{3y^2}{x^2}\\ \\ \\ F=-\dfrac{y^3}{x^2}+\xi(x)\\ \\ \\ F_x=\dfrac{2y^3}{x^3}+\xi'(x)$


$1+\dfrac{2y^3}{x^3}=\dfrac{2y^3}{x^3}+\xi'(x)\\ \\ \\ \xi'(x)=1\\ \\ \xi(x)=x\\ \\ \\ \texttt{Entonces }F(x,y)=x-\dfrac{y^3}{x^2}\\ \\ \\ \therefore ~~\boxed{\boxed{x-\dfrac{y^3}{x^2}=C}} \textit{ es la soluci\'on de la EDO}$