Question

Hallar la ecuacion de la circunferencia que pasa por P(12,7) y es tangente a la recta
L: x-2y-2=0, en el punto T(8,3) ayudaaaaaa

Answer 1

1) Como la recta L es tangente a la circunferencia entonces otra recta R perpendicular a L y que pase por (8,3), pasará por el radio de tal circunferencia. Por eso nos será de utilidad la ecuación de la recta R

                 $y-3=-2(x-8)\Longrightarrow R: 2x+y=19$

2) Otra cosa que notamos es que tal circunferencia pasa por los puntos P y T, la mediatríz (recta M) del segmento PT pasa por el centro de la circunferencia, hallemos su ecuación:

2.1) Punto medio entre P y T: $S=\frac{P+T}{2}=(10,5)$

2.2) Pendiente del segmento PT: $m=\dfrac{7-3}{12-8}=1$

2.3) Pendiente de la recta M: $m_M=-1$

2.4) Ecuación de la recta M: $y-5=-1(x-10)\Longrightarrow x+y=15$

3) Hallamos el centro en la intersección de las rectas R y M
                  $\begin{cases} 2x+y=19\\ x+y=15 \end{cases}\\ \\ \\ C=(x,y)=(4,11)$

4) Hallemos el radio: $r=d(C,T)=\|C-T\|=\|(4,11)-(8,3)\|=\|(-4,8)\|=4\|(-1,2)\|\\ \\ r=4\sqrt{5}$

5) Ecuación de la circunferencia

                                     $\boxed{\boxed{(x-4)^2+(y-11)^2=80}}$

Answer 2

La ecuación de la circunferencia que pasa por el punto P y es tangente a la recta L en el punto T es:

(x - 4)² + (y - 11)² = 80

¿Cómo es la ecuación de una circunferencia?

Una curva cerrada que se caracteriza porque la distancia de cualquier punto perteneciente a la curva y el centro es siempre igual.

Ec. Ordinaria: (x-h)²+(y-k)²= r²

Ec. General: Ax² + By² + Cx + Dy + E = 0

siendo;

• c: centro (h, k)
• r: radio

¿Cuál es la ecuación de la circunferencia que pasa por P(12, 7) y es tangente a la recta L: x-2y-2=0, en el punto T(8, 3)?

Evaluar los puntos en la ecuación de la circunferencia e igualar r;

(12 - h)² + (7 - k)² = (7 - h)² + (3 - k)²

Aplicar binomio cuadrado;

144 - 24h + h² + 49 - 14k + k² = 64 - 16h + h² + 9 - 6k + k²

193 - 24h - 14k = 73 - 16h - 6k

8h + 8k = 120

h + k = 15

El centro de la circunferencia se encuentra sobre una recta que es perpendicular a L y pasa por T.

La pendiente de una recta perpendicular a otra se obtiene:

$m_2=-\frac{1}{m_1}$

m₁ = 1/2

Sustituir;

$m_2=-\frac{1}{\frac{1}{2} }=-2$

Sustituir;

y - 3 = -2(x - 8)

y - 3 = -2x + 16

2x + y = 19

x + y = 15

Despejar x;

x = 15 - y

Sustituir x;

2(15 - y) + y = 19

30 - 2y + y = 19

y = 11

Sustituir;

x = 15 - 11

x = 4

Sustituir h = 4, k = 11 en la ecuación;

(12 - 4)² + (7 - 11)² = r²

r² =80

Sustituir;

(x - 4)² + (y - 11)² = 80

Puedes ver más sobre la ecuación de una circunferencia aquí: https://brainly.lat/tarea/13611291

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