Question

Una sustancia radiactiva se desintegra de acuerdo a la fórmula r(t) = c e-7 t dondec es una constante. ¿En cuánto tiempo habrá exactamente un tercio de la cantidad inicial?.

Answer 1

se cumple que:el divisor es 10

Answer 2

En aproximadamente  0,157  unidades de tiempo se tendrá un tercio de la cantidad inicial de sustancia radiactiva.

Explicación:

Si  r(t)  es la cantidad de sustancia radioactiva, en unidades de masa (um), en el tiempo  t,  en unidades de tiempo (ut), y   c  es una constante, el modelo matemático es:

$\bold {r_{(t)}~=~ c\cdot e^{-7\cdot t}}$

Este es un modelo exponencial de decrecimiento o decaimiento radiactivo, como los que se ejemplifican en la gráfica anexa.

Vamos a sustituir los datos aportados y responder la interrogante:

¿En cuánto tiempo habrá exactamente un tercio de la cantidad inicial?

Inicialmente hay una cantidad de sustancia desconocida, pero sabemos que el tiempo es  cero:

$\bold {r_{(0)}~=~ c\cdot e^{-7\cdot(0)}\qquad\Rightarrow\qquad r_{(0)}~=~ c}$

El modelo matemático de simulación de la cantidad de sustancia radiactiva en el tiempo es:

$\bold {r_{(t)}~=~ r_{(0)}\cdot e^{-7\cdot t}}$

Se quiere el tiempo  t   en que  r (t)  =  (1/3) r(0):

$\bold {(\dfrac{1}{3})\cdot r_{(0)}~=~r_{(0)} \cdot e^{-7\cdot t}\qquad\Rightarrow\qquad(\dfrac{1}{3})~=~e^{-7\cdot t}\qquad\Rightarrow}$

Aplicando propiedades de logaritmos y exponenciales, se toma logaritmo natural a ambos lados para despejar  t:

$\bold {Ln(\dfrac{1}{3})=Ln(e^{-7\cdot t})\quad\Rightarrow\quad Ln(\dfrac{1}{3})=-7\cdot t\quad\Rightarrow\quad t~=~(-\dfrac{1}{7})\cdot Ln(\dfrac{1}{3})~\approx~0,157}$

En aproximadamente  0,157  unidades de tiempo se tendrá un tercio de la cantidad inicial de sustancia radiactiva.

Pregunta relacionada:

Modelo exponencial de decaimiento              brainly.lat/tarea/14078714