Question

Una canica sólida uniforme de radio r parte del reposo con su centro de masa a una altura h sobre el punto más bajo de una pista con un rizode radio R. La canica rueda sin resbalar. La fricción de rodamiento y la resistencia del aire son despreciables.

a) ¿Qué valor mínimo debe tener h para que la canica no se salga de la pista en la parte superior del rizo? (Nota: r no es despreciable en comparación con R.)

Answer 1

La altura h debe ser tal que la velocidad en la parte alta del rizo sea la mínima para que la canica no se despegue de la pista. Sea V esta velocidad.

La velocidad crítica V es la que suministra una fuerza centrípeta igual al peso del cuerpo.

m g = m V² / R, de modo que V² = R g

El momento de inercia de la canica es I = 2/5 m r²

No habiendo pérdidas por fricción se conserva la energía mecánica

m g h = m g (R + R - r) + 1/2 m V² + 1/2 I ω²

ω = V / r; reemplazamos todos los valores conocidos:

m g h = m g (2 R - r) + 1/2 m R g + 1/2 . 2/5 m r² . R g / r²; simplificamos

h = 2 R - r + 1/2 R 1/5 R = 27/10 R - r

h = 27/10 R - r

Saludos Herminio