Question

Por un plano inclinado sin roce caen dos esferas, de igual radio y masa (R y M). Una de ellas es sólida y la otra es hueca. Si ambas esferas se sueltan desde el reposo desde una altura h, determine a partir de las ecuaciones de conservación de la energía y en función de R, h, α y g:
a) La velocidad tangencial de cada esfera al llegar al final del plano inclinado.
b) La velocidad angular de cada esfera al final del plano inclinado.
c) Calcule el tiempo que demora cada esfera en llegar al final del plano inclinado¿Cuál de ellas llegará primero?

Answer 1

Hay un error en el enunciado. Si no hay roce las esferas no ruedan, se deslizan. Pero de todos modos en la rodadura se conserva la energía mecánica de cada esfera.

La energía inicial es m g h

Al llegar abajo hay energía cinética de rotación y de traslación

1/2 m V² + 1/2 I ω²; V =  ω R; ω = V/R

Para la esfera hueca:

m g h = 1/2 m V² + 1/2 . 2/3 m R² (V/R)² = 5/6 m V²

De modo que V² = 6/5 g h = 1,2 g h

 Esfera maciza

m g h = 1/2 m V² + 1/2 . 2/5 m R² (V/R)² = 7/10 m V²

O sea V² = 10/7 g h = 1,43 g h

La velocidad angular es ω = V/R

Hueca: ω = √(1,2 g h) / R; maciza: ω = √(1,43 g h) / R

Para hallar el tiempo necesitamos la aceleración de cada una.

La longitud de plano inclinado es L = h / senα

Sabemos que V² = 2 a L: a = V² / (2 L) = V² senα / (2 h)

t = V / a = 2 h / (V senα)

Se reemplaza V por los valores de esfera hueca y maciza.

Saludos Herminio