Question

Resolver la integral 5 y 23 de las imágenes.

Answer 1

Hola que tal, para el integral 5, tienes,

$\displaystyle\int{\csc(x)\sin(3x)}dx$

bien, si recuerdas la trigonometría, tienes que  $\csc(x)=\dfrac{1}{\sin(x)}$, entonces,

$\displaystyle\int{\frac{1}{\sin(x)}\sin(3x)}dx$

cuidado¡ con simplificar ¬¬¡.....bien, ahora el numerador nos está fastidiando..entonces podmeos usar la suma de angulos del seno es decir,

 $\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a)$

entonces, podemos agrupar de la siguiente forma

$\sin(2x+x)=\sin(2x)\cos(x)+\sin(x)\cos(2x)$

de aquí puedes intentar demostrar dos cosas:

$1.\hspace{3mm} \sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)\\2.\hspace{3mm} \cos(2x)=\cos^{2}(x)-\sin^{2}(x)$

entonces,

$\sin(2x+x)=[2\sin(x)\cos(x)]\cos(x)+\sin(x)[\cos^{2}(x)-\sin^{2}(x)]\\\sin(3x)=2\sin(x)\cos^{2}(x)+\sin(x)[\cos^{2}(x)-\sin^{2}(x)]$

ahora vamos a usar otra identidada trignométrica, es un de las 100 fórmulas que debes saber antes de morir...entonces

$\sin^{2}(x)+\cos^{2}(x)=1$

la idea es dejar el seno de tres equis, en función una sola variable, sea senos o cosenos...(por lo general)..de aquí podemos despejar el coseno cuadrado y reemplazamos en lo que estamos trabajando entnoces,

$\sin(3x)=2\sin(x)[1-\sin^{2}(x)]+\sin(x)[[1-\sin^{2}(x)]-\sin^{2}(x)]\\\sin(3x)=2\sin(x)-2\sin^{3}(x)+\sin(x)-2\sin^{3}(x)\\\sin(3x)=3\sin(x)-4\sin^{3}(x)$

sugerencia: puedes aprendertelas las cientos de fórmulas o aprende a demostrar lo que necesites...la mayoría solo se demuestran en base a las identidaides trignométricas (básicas)...en fin...entonces

$\displaystyle\int{\frac{3\sin(x)-4\sin^{3}(x)}{\sin(x)}}dx=\int{3-4\sin^{2}(x)}dx$

aún no podemos integrar...necesitamos desahcernos del cuadrado...para eso adivina......exacto¡...otra identidad trignome´trica, que la voy a demostrar...

$\cos(2x)=\cos(x+x)=\cos(x)\cos(x)-\sin(x)\sin(x)=\cos^{2}(x)-\sin^{2}(x)\\\\\cos(2x)=\cos^{2}(x)-\sin^{2}(x)\\\cos(2x)=[1-\sin^{2}(x)]-\sin^{2}(x)=1-2\sin^{2}(x)\\\cos(2x)-1=-2\sin^{2}(x)\\\sin^{2}(x)=\dfrac{1-\cos(2x)}{2}$

entonces,

$\displaystyle\int{3-4\sin^{2}(x)}dx=\int{3-4\left(\frac{1-\cos(2x)}{2}\right)}dx=\int{1+2\cos(2x)}dx\\\\...=x+\sin(2x)+C$

y eso sería todo....

el segundo ejercicio está más extenso así que te lo dejo en la parte inferior en un pdf...jaja no te asustes...es solo que aquí hay muy poca capacidad para redactar..creeme la he superado..jajaa..

 y ya esperote sirva y si tienes alguna dud ame avisas

disculpa la ortografía ya estoy medio dormido...jaja

a3a9f8554214ea59c3327a91ed17003e.pdf