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Respuesta dada por:
4
Supongamos que la ecuación de la parábola es: y = ax² [ f(x) = ax² ]
Con a>0
Faltarían los limites de integración:
1) Si me dieran la profundidad: h>0
h=ax² Despejando queda x=±√(h/a)
α = -√(h/a)
β = +√(h/a)
2) Si me dieran el ancho del canal: d>0 ( Una cuerda || al eje ox )
α = -d/2
β = +d/2
En los dos casos: β = -α
La longitud buscada es igual a:
β
ʃ √[1+(f '(x))²] dx =
α
β
ʃ √[1+((ax²)' )²] dx =
α
β
ʃ √[1+(2ax)²] dx =
α
β
ʃ √[1+4a²x²] dx =
α
Factor común: 4a²
β
ʃ √[4a²(1/(4a²) + x²)] dx =
α
Fuera de la raiz la constante 4a²
. β
2aʃ √(1/(4a²) + x²) dx =
. α
En donde la integral impropia da:
2a ʃ √(1/(4a²) + x²) dx =
2a*[x/2√(1/(4a²) + x²)+ [1/(4a²)] / 2 *argsh(x/(1/2a))] + C =
2a*x/2√(1/(4a²) + x²)+ 2a*[[1/(4a²)] / 2 *argsh(2ax)] + C=
ax√(1/(4a²) + x²)+ 1/(4a)*argsh(2ax)+ C
. β
2aʃ √(1/(4a²) + x²) dx =
. α
aβ√(1/(4a²) + β²)+ 1/(4a)*argsh(2aβ) - { aα√(1/(4a²) + α²)+ 1/(4a)*argsh(2aα) } =
aβ√(1/(4a²) + β²)+ 1/(4a)*argsh(2aβ) - aα√(1/(4a²) + α²) - 1/(4a)*argsh(2aα)
Como: β = -α
-aα√(1/(4a²) + (-α)²)+ 1/(4a)*argsh(-2aα) - aα√(1/(4a²) + α²)- 1/(4a)*argsh(2aα) =
-2aα√(1/(4a²) + α²) - 1/(2a)*argsh(2aα)
Conclusión:
β
ʃ √[1+(2ax)²] dx = -2aα√(1/(4a²) + α²) - 1/(2a)*argsh(2aα)
α
Con a>0
Faltarían los limites de integración:
1) Si me dieran la profundidad: h>0
h=ax² Despejando queda x=±√(h/a)
α = -√(h/a)
β = +√(h/a)
2) Si me dieran el ancho del canal: d>0 ( Una cuerda || al eje ox )
α = -d/2
β = +d/2
En los dos casos: β = -α
La longitud buscada es igual a:
β
ʃ √[1+(f '(x))²] dx =
α
β
ʃ √[1+((ax²)' )²] dx =
α
β
ʃ √[1+(2ax)²] dx =
α
β
ʃ √[1+4a²x²] dx =
α
Factor común: 4a²
β
ʃ √[4a²(1/(4a²) + x²)] dx =
α
Fuera de la raiz la constante 4a²
. β
2aʃ √(1/(4a²) + x²) dx =
. α
En donde la integral impropia da:
2a ʃ √(1/(4a²) + x²) dx =
2a*[x/2√(1/(4a²) + x²)+ [1/(4a²)] / 2 *argsh(x/(1/2a))] + C =
2a*x/2√(1/(4a²) + x²)+ 2a*[[1/(4a²)] / 2 *argsh(2ax)] + C=
ax√(1/(4a²) + x²)+ 1/(4a)*argsh(2ax)+ C
. β
2aʃ √(1/(4a²) + x²) dx =
. α
aβ√(1/(4a²) + β²)+ 1/(4a)*argsh(2aβ) - { aα√(1/(4a²) + α²)+ 1/(4a)*argsh(2aα) } =
aβ√(1/(4a²) + β²)+ 1/(4a)*argsh(2aβ) - aα√(1/(4a²) + α²) - 1/(4a)*argsh(2aα)
Como: β = -α
-aα√(1/(4a²) + (-α)²)+ 1/(4a)*argsh(-2aα) - aα√(1/(4a²) + α²)- 1/(4a)*argsh(2aα) =
-2aα√(1/(4a²) + α²) - 1/(2a)*argsh(2aα)
Conclusión:
β
ʃ √[1+(2ax)²] dx = -2aα√(1/(4a²) + α²) - 1/(2a)*argsh(2aα)
α
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