Question

¿Como puedo sacar el perímetro de una parábola

Answer 1

Supongamos que la ecuación de la parábola es: y = ax² [ f(x) = ax² ] 
Con a>0 

Faltarían los limites de integración: 
1) Si me dieran la profundidad: h>0 
h=ax² Despejando queda x=±√(h/a) 
α = -√(h/a) 
β = +√(h/a) 
2) Si me dieran el ancho del canal: d>0 ( Una cuerda || al eje ox ) 
α = -d/2 
β = +d/2 
En los dos casos: β = -α 

La longitud buscada es igual a: 
β 
ʃ √[1+(f '(x))²] dx = 
α 

β 
ʃ √[1+((ax²)' )²] dx = 
α 

β 
ʃ √[1+(2ax)²] dx = 
α 

β 
ʃ √[1+4a²x²] dx = 
α 
Factor común: 4a² 
β 
ʃ √[4a²(1/(4a²) + x²)] dx = 
α 
Fuera de la raiz la constante 4a² 
. β 
2aʃ √(1/(4a²) + x²) dx = 
. α 

En donde la integral impropia da: 
2a ʃ √(1/(4a²) + x²) dx = 
2a*[x/2√(1/(4a²) + x²)+ [1/(4a²)] / 2 *argsh(x/(1/2a))] + C = 
2a*x/2√(1/(4a²) + x²)+ 2a*[[1/(4a²)] / 2 *argsh(2ax)] + C= 
ax√(1/(4a²) + x²)+ 1/(4a)*argsh(2ax)+ C 

. β 
2aʃ √(1/(4a²) + x²) dx = 
. α 
aβ√(1/(4a²) + β²)+ 1/(4a)*argsh(2aβ) - { aα√(1/(4a²) + α²)+ 1/(4a)*argsh(2aα) } = 
aβ√(1/(4a²) + β²)+ 1/(4a)*argsh(2aβ) - aα√(1/(4a²) + α²) - 1/(4a)*argsh(2aα) 

Como: β = -α 
-aα√(1/(4a²) + (-α)²)+ 1/(4a)*argsh(-2aα) - aα√(1/(4a²) + α²)- 1/(4a)*argsh(2aα) = 
-2aα√(1/(4a²) + α²) - 1/(2a)*argsh(2aα) 

Conclusión: 
β 
ʃ √[1+(2ax)²] dx = -2aα√(1/(4a²) + α²) - 1/(2a)*argsh(2aα) 
α