Respuestas
Los electrones describen órbitas circulares en torno al núcleo del átomo sin irradiar energía.
La causa de que el electrón no irradie energía en su órbita es, de momento, un postulado, ya que según la electrodinámica clásica una carga con un movimiento acelerado debe emitir energía en forma de radiación.
Para mantener la órbita circular, la fuerza que experimenta el electrón —la fuerza coulombiana por la presencia del núcleo— debe ser igual a la fuerza centrípeta. Esto nos da la siguiente expresión:
{\displaystyle k{Ze^{2} \over r^{2}}={m_{e}v^{2} \over r}}
Donde el primer término es la fuerza eléctrica o de Coulomb, y el segundo es la fuerza centrípeta; k es la constante de la fuerza de Coulomb, Z es el número atómico del átomo, e es la carga del electrón, {\displaystyle m_{e}} es la masa del electrón, v es la velocidad del electrón en la órbita y r el radio de la órbita.En la expresión anterior podemos despejar el radio, obteniendo:
{\displaystyle r=k{Ze^{2} \over m_{e}v^{2}}}
Y ahora, con esta ecuación, y sabiendo que la energía total es la suma de las energías cinética y potencial:
{\displaystyle E=T+V={1 \over 2}m_{e}v^{2}-k{Ze^{2} \over r}=-{1 \over 2}{kZe^{2} \over r}}
Donde queda expresada la energía de una órbita circular para el electrón en función del radio de dicha órbita.Segundo postulado[editar]Las únicas órbitas permitidas para un electrón son aquellas para las cuales el momento angular, {\displaystyle L}, del electrón sea un múltiplo entero de {\displaystyle \hbar ={h \over 2\pi }}. Esta condición matemáticamente se escribe:
{\displaystyle L=m_{e}vr=n\hbar }
con {\displaystyle n=1,2,3,\dots }A partir de esta condición y de la expresión para el radio obtenida antes, podemos sustituir {\displaystyle v} y queda la condición de cuantización para los radios permitidos:
{\displaystyle r_{n}={n^{2}\hbar ^{2} \over km_{e}Ze^{2}}}
con {\displaystyle n=1,2,3,\dots }; subíndice introducido en esta expresión para resaltar que el radio ahora es una magnitud discreta, a diferencia de lo que decía el primer postulado.Ahora, dándole valores a {\displaystyle n}, número cuántico principal, obtenemos los radios de las órbitas permitidas. Al primero de ellos (con n=1), se le llama radio de Bohr:
{\displaystyle a_{0}={\hbar ^{2} \over km_{e}e^{2}}=0.529}
expresando el resultado en ångström.Del mismo modo podemos ahora sustituir los radios permitidos {\displaystyle r_{n}} en la expresión para la energía de la órbita y obtener así la energía correspondiente a cada nivel permitido:
{\displaystyle E_{n}=-{1 \over 2}{k^{2}m_{e}Z^{2}e^{4} \over n^{2}\hbar ^{2}}}
Igual que antes, para el átomo de hidrógeno (Z=1) y el primer nivel permitido (n=1), obtenemos:
{\displaystyle E_{0}=-{1 \over 2}{k^{2}m_{e}e^{4} \over \hbar ^{2}}=-13.6{\text{ eV}}}
que es la llamada energía del estado fundamental del átomo de Hidrógeno.Y podemos expresar el resto de energías para cualquier Z y n como:
{\displaystyle E_{n}={Z^{2} \over n^{2}}E_{0}}
Tercer postulado[editar]El electrón solo emite o absorbe energía en los saltos de una órbita permitida a otra. En dicho cambio emite o absorbe un fotón cuya energía es la diferencia de energía entre ambos niveles. Este fotón, según la ley de Planck tiene una energía:
{\displaystyle E_{\gamma }=h\nu =E_{n_{f}}-E_{n_{i}}}
donde {\displaystyle n_{i}} identifica la órbita inicial y {\displaystyle n_{f}} la final, y {\displaystyle \nu } es la frecuencia.Entonces las frecuencias de los fotones emitidos o absorbidos en la transición serán:
{\displaystyle \nu ={k^{2}m_{e}Z^{2}e^{4} \over 2h\hbar ^{2}}\left({1 \over n_{i}^{2}}-{1 \over n_{f}^{2}}\right)}
A veces, en vez de la frecuencia se suele dar la inversa de la longitud de onda:
{\displaystyle {\overline {\nu }}={1 \over \lambda }={k^{2}m_{e}Z^{2}e^{4} \over 2hc\hbar ^{2}}\left({1 \over n_{i}^{2}}-{1 \over n_{f}^{2}}\right)}
Esta última expresión fue muy bien recibida porque explicaba teóricamente la fórmula fenomenológica hallada antes por Balmer para describir las líneas espectrales observadas desde finales del siglo XIX en la desexcitación del Hidrógeno, que venían dadas por:
{\displaystyle {\overline {\nu }}={1 \over \lambda }=R_{H}\left({1 \over 2^{2}}-{1 \over n^{2}}\right)}
con {\displaystyle n=3,4,5,\dots }, y donde {\displaystyle R_{H}} es la constante de Rydberg para el hidrógeno. Y como vemos, la expresión teórica para el caso {\displaystyle n_{f}=2}, es la expresión predicha por Balmer, y el valor medido experimentalmente de la constante de Rydberg ({\displaystyle 1.09710^{7}m^{-1}}), coincide con el valor de la fórmula teórica.
Se puede demostrar que este conjunto de hipótesis corresponde a la hipótesis de que los electrones estables orbitando un átomo están descritos por funciones de onda estacionarias. Un modelo atómico es una representación que describe las partes que tiene un átomo y como están dispuestas para formar un todo. Basándose en la constante de Planck {\displaystyle E=h\nu \,} consiguió cuantizar las órbitas observando las líneas del espectro.
Cada órbita tiene electrones con distintos niveles de energía obtenida que después se tiene que liberar y por esa razón el electrón va saltando de una órbita a otra hasta llegar a una que tenga el espacio y nivel adecuado, dependiendo de la energía que posea, para liberarse sin problema y de nuevo volver a su órbita de origen. Donde el primer término es la fuerza eléctrica o de Coulomb, y el segundo es la fuerza centrípeta; k es la constante de la fuerza de Coulomb, Z es el número atómico del átomo, e es la carga del electrón, {displaystyle m_{e}}m_e es la masa del electrón, v es la velocidad del electrón en la órbita y r el radio de la órbita. Y como vemos, la expresión teórica para el caso {displaystyle n_{f}=2}n_{f}=2, es la expresión predicha por Balmer, y el valor medido experimentalmente de la constante de Rydberg ({displaystyle 1.097*10^{7}m^{-1}}{displaystyle 1.097*10^{7}m^{-1}}), coincide con el valor de la fórmula teórica.
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