Question

En un polinomio P(x,y), homogéneo y completo en “x” e “y”, la suma de los grados absolutos de todos sus términos es 420. ¿Cuál es su grado de homogeneidad?

Answer 1

Un polinomio homogéneo es aquel en el que todos los monomios tienen el mismo grado.


Este es un ejemplo de polinomio homogéneo de grado 4 (el grado de todos los monomios es 4):

x^4 + 3x^3y + 2x^2y^2 + xy^3 + 8y^4.

Como ves, la suma de los exponentes de las variables x, y en cada monomio es 4. Y el número de términos es 5, es decir es el grado de homogeneidad más 1.


Con relación a la suma de los grados absolutos de todos los monomíos o términos sera: 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 4*5 = 20.


En general, puedes decir que la suma de los grados absolutos en un polinomio homogéneo será el grado de cada monomío por el número de términos = grado * (grado + 1)


Llamando n, al grado de nuestro polinomio, se tiene que cumplir:

n (n + 1) = 420


=> n^2 + n = 420

=> n^2 + n - 420 = 0

Factorizando:

(n + 21) (n - 20) = 0

=> n = -21 y n = 20.


Solo tiene sentido el valor positivo, por tanto n = 20.


Es decir el polinomio es de la forma (excluyendo los coeficientes)::


x^20 + x^19 y + x^18 y^2 + x^17 y^3 + .... x^3 y^17 + x^2y ^18 + x y^19 + y^20


Ese polinomio tiene 21 términos.


Por lo que la suma de los grados será 20 * 21 = 420, tal como se requirió en el enunciado.


Respuesta: el grado de homogeneidad es 20.

Answer 2

Respuesta:

Respuesta: el grado de homogeneidad es 20.

Explicación paso a paso: