Question

Escriba el vector w=(1,1,1) como una combinación lineal de vectores en el conjunto: S{(1,2,3),(0,1,2),(-1,0,1)}

Answer 1

Buecas hacer una combinación lineal entre los tres vectores para obtener el vector w, entonces, supongamos escalares  $\alpha,\beta,\gamma\in\Re$, entonces

$\displaystyle w=\alpha(1,2,3)+\beta(0,1,2)+\gamma(-1,0,1)\\\left[\begin{array}{ccc}1\\1\\1\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}\alpha\\2\alpha\\3\alpha\end{array}\right] +\left[\begin{array}{ccc}0\\\beta\\2\beta\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}-\gamma\\0\\2\gamma\end{array}\right]= \left[\begin{array}{ccc}1&0&-1\\2&1&0\\3&2&2\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\alpha\\\beta\\\gamma\end{array}\right]$

entonces, el problema se reduce a resolver un sistema de ecuaciones, que podemos hacerlo usando Gauus-Jordan,

$\displaystyle \left[\begin{array}{ccc}1&0&-1\\2&1&0\\3&2&2\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\alpha\\\beta\\\gamma\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1\\1\\1\end{array}\right]$

entonces,

$\displaystyle\left[\begin{array}{rrr|r}1&0&-1&1\\2&1&0&1\\3&2&2&1\end{array}\right]\underbrace{\longrightarrow}_{{\substack{F_{2}-2F_{1}\\F_{3}-3F_{1}}}}=\left[\begin{array}{rrr|r}1&0&-1&1\\0&1&2&-1\\0&2&5&-2\end{array}\right]\underbrace{\longrightarrow}_{F_{3}-2F_{2}}=\\\\\left[\begin{array}{rrr|r}1&0&-1&1\\0&1&2&-1\\0&0&1&0\end{array}\right]\underbrace{\longrightarrow}_{{\substack{F_{2}-2F_{3}\\F_{1}+F_{3}}}}=\left[\begin{array}{rrr|r}1&0&0&1\\0&1&0&-1\\0&0&1&0\end{array}\right]$

finalmente ya tenemos los vlores de los escalares, entonces comprobemos,

$(1,1,1)=(1)(1,2,3)+(-1)(0,1,2)+(0)(-1,0,1)=\\...=(1,2,3)+(0,-1,-2)=(1,1,1)$

y como ves, efectivamente esas constante fomar combinación lineal del vector w, además podemos decir que son linealmente dependientes...y eso sería todo