Question

ejercicio fisica elemental. fallo en el lanzamiento. un cohete de 7500Kg despega verticalmente desde la plataforma de lanzamiento con una aceleracion constante hacia arriba de 2.25m/2 y no sufre resistencia del aire considerable. cuando alcanza una altura de 525m sus motores fallan repentinamente y ahora la unica fuerza que actua sobre el es la gravedad. Cuales son sus datos

Answer 1

Divide el movimiento en dos fases: 1) desde el despegue hasta que se apagan los motores y 2) desde que se apagan los motores.

1) Desde el despegue hasta que se apagan los motores:

Datos:

m = 7500 kg

a = 2,25 m / s^2

h final = 525 m

Vo = 0

Tipo de movimiento: uniformemente acelerado

Ecuaciones:

altura = distancia recorrida = d = [1/2] a * t^2 

V = a*t 

V = 2ad

=> V^2 final = 2 * 2.25 m/s^2 * 525m = 2,362.5 m^2 / s^ => V final = 48.6 m/s

t = Vf / a = [48.6 m/s ] / [2.25 m/s^2] = 21.6 s.

2) Desde que se apagaron los motores

Datos:

Vo = 48.6 m /s

Tipo de movimiento: uniformemente acelerado = lanzamiento vertical hacia arriba desde los 525 m y con velocidad inicial igual a 48.6 m/s

El cohete subirá hasta un punto en que la velocidad final sea cero y desde allí cae libremente.

La aceleración es 9,8 m/s^2 con dirección opuesta al movimiento de subida y a favor del movimiento en la bajada.

tiempo para alcanzar la altura máxima:

Vf = Vo - g*t => t = [Vo - Vf] / g

=> t = [48.6 m/s] / 9.8 m/s^2 = 4.96 s

Altura alcanzada,h:

h = altura inicial + distancia recorrida hacia arriba

h = 585 m + Vo*t - a*t^2 / 2 = 585m + 48.6m/s*4.96s - 9.8m/s^2 * (4.96s)^2 / 2

h = 705.5 m

De allí en adelante el cohete empieza a caer, hasta llegar al suelo, por lo que las ecuaciones que rigen el movimiento son:

h = 705.5 m - a*t^2 / 2 = 705m - 4.9 t^2

Vf = g*t = 9.8 m/s^2 t

Vf^2 = 2g(altura inicial) = 2*9.8m/s^2 * 705.5 m
 
Vf = 117.6 m/s

=> t = [117.6m/s] / [9.8m/s^2] = 12 s

De esa forma hemos encontrado la información relacionada con el movimiento.

Como tienes la masa del cohete, también puedes encontrar la energía del mismo con las siguiente ecuaciones:

Energía mecánica = Energía cinética + Energía potencia = constante

Energía cinética = [1/2] m * v^2

Energía potencial = m * g * h 

Answer 2

Respuesta:

a) $y_{max} = 646.5m$

b) $t_{impacto} = 38.07s$

c) $v_{impacto} = 112.6 m/s$

Explicación:

Este problema indica que tendremos dos puntos de referencias: el primero será desde la plataforma de despeje y el segundo será cuando llegue a los 525m. Empecemos por decir que al ser un movimiento vertical hacia arriba, tendremos una posición inicial o $y_{0} = 0$ y tendremos una velocidad inicial o $v_{inicial} = 0$. El cohete despega con una aceleración constante de $2.25 m/s^{2}$ y se mantendrá así hasta que los montores se apaguen a los 525m de altura. Dicho esto, podemos usar la siguiente ecuación para conocer la posición en cada instante de tiempo del cohete.

$y = y_{0} + (v_{inicial})t + \frac{1}{2} a_{y}t^{2}$

Sustituyendo tenemos que $y = (1.13 m/s^{2})t^{2}$. El tiempo que tarda en llegar a los 525m es:

$(525m) = (1.13 m/s^{2})t^{2} \\ \sqrt{\frac{(525m)}{(1.13 m/s^{2}) }} = t\\ t_{motores} = 21.6s$
Ahora que tenemos el tiempo que tarda en llegar hasta los 525m, derivamos $y = (1.13 m/s^{2})t^{2}$ y obtenemos $v = (2.25 m/s^{2})t$, entonces la velocidad al momento de apagar los motores es:

$v_{motores} = (2.25 m/s^{2})(21.6s)\\v_{motores} = 48.8 m/s$

Hasta aqui tenemos el movimiento vertical del cohete desde su despegue hasta que los motores se apagan, éste es la primera referencia que nombré al inicio. La segunda referencia consiste en analizar el movimiento del cohete despúes de apagar los motores, los datos que tenemos aquí son los siguientes: la velocidad inicial es la misma que $v_{motores}$, la posición inicial es 525m y la aceleración $a_{y} = -9.8 m/s^{2}$. Usaremos el mismo modelo de la ecuación que se usó para describir el movimiento en cada instante despúes de depegar:

$y = y_{0} + v_{motores}t + \frac{1}{2}a_{y}t^{2}$

Sustituimos y obtenemos $y = 525m + (48.8m/s)t + (-4.9 m/s^{2})t^{2}$. Para determinar el tiempo que tarda desde el momeno que apaga los motres del cohete hasta que se estrella el cohete se tiene que igualar toda esa ecuación a 0, tendríamos:

$0 = 525m + (48.8m/s)t + (-4.9 m/s^{2})t^{2}$

Al usar la forma cuadrática para determinar los tiempos, obtenemos que $t_{1} = -6.50 s$ y $t_{2} = 16.47s$. Dado que hay un valor negativo y otro positivo, no tiene mucho sentido el tiempo negativo, así que la respuesta correcta es $t_{2}$. Para determinar el tiempo que tardará el cohete en llegar a su altuma máxima, debemos de derivar la función de posición$y = 525m + (48.8m/s)t + (-4.9 m/s^{2})t^{2}$. Derivando tenemos que $v =48.8m/s + (-9.8 m/s^{2})t$ e igualanda la ecuación a cero:

$0 =48.8m/s + (-9.8 m/s^{2})t\\t = 5 s$

Ahora sí podemos determinar la altura máxima sustituyendo $t = 5 s$ en $y = 525m + (48.8m/s)t + (-4.9 m/s^{2})t^{2}$

$y = 525m + (48.8m/s)(5s) + (-4.9 m/s^{2})(5s)^{2}\\y_{max} = 646.5 m$

La rapidez justo al estrellarse contra la plataforma es

$v =48.8m/s + (-9.8 m/s^{2})(16.47s)\\v_{impacto}= -112.6 m/s$

Pero la rapidez es igual a la velocidad de estrello, pero siempre positivo, así que $v_{impacto} = 112.6 m/s$

El tiempo que tarda en total desde su lanzamiento hasta que se estrella es $t_{impacto} = t_{motores} + t_{2}$, por lo que $t_{impacto} = 38.07s$