Question

Halla la ecuación de la circunferencia cuyo centro se halla sobre el eje de abscisas y es tangente a la recta r: y = - x + 3 en el punto P=(-1, 4).
Gracias.

Answer 1

Al ser tangente la recta a circunferencia, quiere decir que la recta la toca en el punto dado, que es P (-1,4)

Definiremos la ecuación de la circunferencia como:

$(x-h)^{2} +(y-k)^{2} = r^{2}$, donde: r=radio

y el centro de circuferencia tiene un punto en x (h) y otro en y (k), por lo que denotaremos el centro como C (h,k)

Como el ejercicio dice que el centro se encuentra sobre el eje de las abscisas (eje x), k = 0

Calcularemos la distancia entre los 2 puntos (el cual es el radio de la circunferencia):

$r = \sqrt{(h-(-1))^{2}+(0-4)^{2}}$

$r =\sqrt{(h+1)^{2}+(-4)^{2}}$

$r^{2} ={(h+1)^{2}+(-4)^{2}}$

$r^{2} ={(h+1)^{2}+16}$

$r^{2} =h^{2}+2h+1^{2}+16 = h^{2}+2h+17$

Sustituyendo esto en la ecuación de la circunferencia tendremos que:

$(x-h)^{2} +y^{2} = h^{2}+2h+17$