Question

Cierto tipo de tela usada en tapicería tiene, en promedio, dos defectos por metro cuadrado. Si se supone una distribución de Poisson, calcule la probabilidad que a) Un rollo de 30 m2 tenga no más de 5 defectos b) Un rollo de 30 m2 tenga al menos 6 defectos c) Un rollo de 60 m2 tenga exactamente 10 defectos

Answer 1

La distribución Poisson, es una distribución de probabilidad discreta estudiada en probabilidad y estadística, que define la probabilidad de que un evento ocurra una cantidad determinada de veces durante un período de tiempo, dada una referencia de con cuanta frecuencia ocurre. Es decir, esta distribución arroja la probabilidad de que un evento ocurra x número de veces dado que usualmente ocurre z numero de veces.

En la imagen se encuentra la fórmula de la distribución Poisson. Siendo k el número de ocurrencias del evento, y λ el número de veces que se espera que ocurra. Esto es muy importante, la función nos dará la probabilidad de que el evento ocurra k veces,  λ será ese número de veces que se cree ocurrirá. 

a) Para este caso, hay que tomar la probabilidad de no más de 5, es decir, de que se encuentren uno, dos, tres, cuatro y cinco defectos (valor de k), λ es igual a 60 (2 defectos en 1 metro, 2 defectos x 30 m)
k = 1, λ = 60, resultado de la función: $5.25x10^{-25}$
k = 2, λ = 60, resultado de la función: $1.57x10^{-23}$
k = 3, λ = 60, resultado de la función: $3.15x10^{-22}$
k = 4, λ = 60, resultado de la función: $4.72x10^{-21}$
k = 5, λ = 60, resultado de la función: $5.67x10^{-20}$

Sumando todo, el resultado sería: $6.17x10^{-20}$, esta es la probabilidad de que ocurra.


b) Para este caso, hay que tomar la probabilidad de no más de 6, es decir, de que se encuentren uno, dos, tres, cuatro, cinco y seis defectos (valor de k), λ es igual a 60 (2 defectos en 1 metro, 2 defectos x 30 m)
k = 1, λ = 60, resultado de la función: $5.25x10^{-25}$
k = 2, λ = 60, resultado de la función: $1.57x10^{-23}$
k = 3, λ = 60, resultado de la función: $3.15x10^{-22}$
k = 4, λ = 60, resultado de la función: $4.72x10^{-21}$
k = 5, λ = 60, resultado de la función: $5.67x10^{-20}$
k = 6, λ = 60, resultado de la función: $5.67x10^{-19}$

Sumando todo, el resultado sería: $6.28 x10^{-19}$, esta es la probabilidad de que ocurra. 

c) k = 10, λ = 120 (2 defectos en 1 metro, 2 defectos x 60m). 
k = 10, λ = 120, resultado de la función: $5.67x10^{-19}$

El resultado sería $1.30x10^{-38}$

Los resultados de estos ejercicios ponen en evidencia, que las probabilidades de ocurrencia de cada uno de los fenómenos son demasiado bajas. Esto se debe a que hay dos defectos en un metro, y se espera que en 30m o 60m se tengan sólo un par de defectos, un máximo de 10, esto es extramadamente extraño.