Question

25) Un centro de nivelación realiza una oferta a un colegio para preparar a sus estudiantes previo a las pruebas de ingreso a la universidad. Por cada uno de los 30 estudiantes del curso se cobrará USD 150, pero si no se inscriben todos, por cada vacante existente, los estudiantes que sí asistan deberán pagar USD 15 adicionales. La tabla muestra los cálculos aplicados para varios casos.

Answer 1

Puedes encontrar la función que modela las ganancias y luego determinar el número de asistentes que maximizan la ganancia.


1) Modelo:


Número de estudiantes asistentes: x (donde x puede tener un valor entre 1 y 30) 


Ganancia, G.


G = x * precio


Precio = 150 + 15(número de vacantes)


número de vacantes = 30 - número de estudiantes asistentes


=> precio = 150 + 15 (30 - x)


=> G = x [150 + 15(30 - x) ] = 150x + 15*30x - 15x^2 = 150x + 450x - 15x^2


=> G = 600x - 15x^2


Puedes verificar que ese modelo reproduce cada uno de los cálculos de la tabla.


2) Maximización de la ganacia.


La función encontrada es una función cuadrática, por lo tanto tiene un vértice y ese vértice representará un máximo o un mínimo dependiendo de la forma de la parábola (si es abierta hacia arriba o hacia abajo).


En este caso, G = 600 - 15x^2 es abierta hacia abajo (porque el coeficiente de x^2 es negativo). Ello significa, que el vértice es un máximo, o sea el punto donde se obtiene máxima ganancia.


 Hallemos el vértice de la parábola:


600x - 15x^2.


Lo haré completanto cuadrados:

- 15x^2 + 600x  -> extrae factor común - 15

=> - 15 [ x^2 - 40x] --> completa un cuadrado perfecto

=> - 15 [ (x - 20)^2   - 400]

=> -15(x - 20)^2 + 6000--> compara con la forma de la ecuación de la parábola:


=> A (x - h)^2 + k


=> h = 20, k = 6000


Significa que la máxima ganancia es 6000 y la misma se alcanza cuando asisten 20 estudiantes.


En ese caso, habría 30 - 20 = 10 vacantes.


Verificamos


20* 150 + 20 *15 * (30 - 20 ) = 3000 + 3000 = 6000.