Question

Halle los valores de k > 0 y θ ∈ (-π/2,π/2) para expresar

3 √2/ 2 sen x + 3 √2/ 2 cos x

En la forma 3 √2/ 2 sen x + 3 √2/ 2 cos x = k cos(x + θ)

k= ?

θ = -5π/1

Answer 1

Aplica la fórmula del coseno de la suma al miembro de la derecha:


cos( x + Ф) = cos(x) cos(Ф) - sen(x)sen(Ф)

=> k cos (x + Ф) = k cos(x) cos(Ф) - k sen(x) sen(Ф)



Igualando ahora con el miembro de la izquierda:


(3 √2/ 2) sen x + (3 √2/ 2) cos x =  k cos(x) cos(Ф) - k sen(x) sen(Ф)


Ahora puedes igualar los coefecientes de sen(x) y de cos(x) de ambos miembros>


(3√2 / 2) sen x = - k sen(Ф)


(3√2/ 2) cos x = k cos(Ф)


Que es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: k y x



Al dividir la de arriba entre la de abajo


tan x = - tan (Ф)


Siendo Ф = -5π / 12, tan (Ф) =  tan (-5π / 12) = - 3,732


=> tan x = - (- 3,732) => x = arctan ( 3,732) = 75° = 5π/12


Con lo que ahora puedes hallar el valor de k a partir de alguna de las dos ecuaciones anteriores.


A partir de (3√2/ 2) cos x = k cos(Ф)


=> k = (3√2/ 2) cos x / cos(Ф) = (3√2/ 2) cos (5π/12) / cos(- 5π / 12) = 3√2/2


Respuesta: k = 3√2/2