Question

Ayuda en este ejercicio de Progresión Aritmética

Answer 1

Formamos 2 ecuaciones con las características del problema
Si le llamamos "an" a cualquiera de los términos de la sucesión
El tercer término es a₃  y el sexto es a₆ 
Ecuaciones
a₃ + a₆ = 3
a₃² + a₆² = 45
De la primera despejamos a₃
a₃ = 3 - a₆
sustituimos en la segunda
( 3 - a₆ )² + a₆ = 45
9 - 6 a₆ + a₆² + a₆² = 45
2 a₆² - 6 a₆ + 9 - 45 = 0
2 a₆² - 6 a₆ - 36 = 0   dividimos entre 2 para simplificar
a₆² - 3a₆ - 18 = 0       ec. de 2. grado que resolvemos por factorización
( a₆ - 6 ) ( a₆ + 3 ) = 0  igualamos a cero los factores

a₆ - 6 = 0            a₆ + 3 = 0
a₆ = + 6              a₆ = - 3

Tomaremos la primera solución ya que el problema indica que es una sucesión creciente, entonces 
Si a₆ = 6
a₃ = 3 - ( 6 )
a₃ = - 3

Los términos a₃ y a₆ valen
- 3 y 6 respectivamente

Necesitamos la diferencia en esta sucesión.
Como hay tres intervalos entre el tercer y sexto términos
d = 6 - ( - 3 ) / 3
d = 6 + 3 / 3
d = 9 / 3
d = 3

Usamos la expresión para calcular el enésimo término de una sucesión o progresión aritmética

an = a₁ + ( n - 1 ) d        tomamos an = a₃ = - 3  ; n = 3 ; d = 3
Despejamos a₁
a₁ = an - ( n - 1 ) d
a₁ = - 3 - ( 3 - 1 ) ( 3 )
a₁ = - 3 - 6
a₁ = - 9

La respuesta es que el primer término de la progresión es 
R = - 9  que se encuentra en el inciso e)