Question

En un polinomio P(x,y), homogéneo y completo en “x” e “y”, la suma de los grados absolutos de todos sus términos es 420. ¿Cuál es su grado de homogeneidad?

Answer 1

Un polinomio homogéneo es aquel en que los grados de todos los monomios son iguales.


Este es un un ejemplo de polinomio homogéneo:

x^5 + x^4 y + x^3 y^2 + x^2 y^3 + xy^4 + y^5


Cada monomio tiene grado 5:

x^5 => 5

x^4 y => 4 +1 = 5

x^3 y^2 => 3 + 2 = 5

x^2 y^3 => 2 + 3 = 5

x y^4 = 1 + 4 = 5

y^5 = 5


La suma de los grados absolutos de este polinomio será 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5, es decir 5*6 = 30.


En general, para un polinomio con dos letras,  la suma de los grados absolutos de sus términos será A* (A + 1).


Por tanto, en este caso:  A * (A + 1) = 420


A^2 + A - 420 = 0


Factorizando:


(A + 21)(A - 20)=0 => A = - 21 y A = 20.


Solo tiene sentido la solución positiva.


Por tanto, el grado homogeneidad es 20.


Es decir el polinomio es:


x^20 + x^19y + x^18 y^2 + x^17 y^3 +  ....  + x^2 y^18 + x y^19 + y^20



Respuesta: 20