Question

¿Cual es la diferencia entre una integral definida y una integral aproximada?

Answer 1

Lo que sucede es lo siguiente, por definición sabemos que el área bajo cualquier curva podemos hallarla como la suma de 1,2,3,....,n rectángulos. Si consideramos un número finito de rectángulos bajo una curva muy pronunciada vamos a obtener que la suma de los 19 rectángulos por ejemplo es una aproximación que depende, puede ser muy buena, o extremadamente alejada del valor real. Para eso el cálculo integral viene de la mano de la definición de límite. 

La definición de límite nos garantiza tomar infinitos valores para una partición de cada rectángulo, en el caso de los rectángulos, considera tomar el "grosor" o la base de cada rectángulo tan chiquitita hasta que ese valor sea muy cercano a cero....sin intenciones de entrar mucho a matería, tenemos que,

$\displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)}dx\approx\frac{b-a}{n}\sum_{i=1}^{n}f(x_{i})$

nota que, $\displaystyle\frac{b-a}{n}=\Delta x$ , donde representa la base de cada rectángulo, todo depende del valor de n, si quieres dos, tres, cuatro rectángulos, dividis desde el punto inicil "a" hasta "b", entre en número de pedazos que quieres....y f(x_{1}) viene representando la altura de cada rectángulo, entonces base por altura es el área...y debes sumar cada uno de esos rectángulos, es decir,

$\displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)}dx\approx\frac{b-a}{n}\sum_{i=1}^{n}f(x_{i})=\frac{b-a}{n}\left(f(x_{1})+f(x_{2})+...+f(x_{n})\right)$

estoy aproximando, es valor mas o menos cercano al verdadero..que tan bueno?...depende. Pero bueno, ahora si quieres el valor exacto, usamos la definición de límite y lo que hacemos es

 $\displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)}dx=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{b-a}{n}\sum_{i=1}^{n}f(x_{i})\equiv\lim_{\Delta x\rightarrow0}\sum_{i=1}^{n}f(x_{i})\Delta_{i} x$

nota que la equivalencia (tres rayas) nos indica el mismo límite pero en distinta notación.

Aquí lo que consideras que es que el grosor de cada rectángulo tan tan chiquito cual cercano a cero...  y eso SI es igual a una integral definida...

espero haberte podido ayudar...y si tienes alguna duda me avisas¡