Question

Ayuda con este ejercicio por favor.
Si la derivada direccional de F: R² --> R en (2,3) es 2 en la dirección que forma un angulo de 30° con el eje x positivo y 8 cuando este angulo es 150°. Determine cual es la derivada direccional de F en (2,3) en la dirección tangente a la curva definida por: G(x,y) = 2xy-3y² = 1 en (2,1)

Answer 1

La derivada direccional de F en dirección del vector unitario $\vec u$ se calcula así

                       $D_{\vec u}F=\nabla F\cdot \vec u$

1) $\vec u_1 = (\cos 30\°,\sin30\°)=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2},\dfrac{1}{2}\right)$

$D_{\vec u_1}F=\nabla F\cdot \vec u_1\\ \\ D_{\vec u_1}F=(F_x,F_y)\cdot \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2},\dfrac{1}{2}\right)\\ \\ \\ D_{\vec u_1}F=\dfrac{\sqrt{3}F_x}{2}+\dfrac{F_y}{2}\\ \\ \\ D_{\vec u_1}F(2,3)=\dfrac{\sqrt{3}F_x(2,3)}{2}+\dfrac{F_y(2,3)}{2}\\ \\ \\ \dfrac{\sqrt{3}F_x(2,3)}{2}+\dfrac{F_y(2,3)}{2}=2\\ \\ \sqrt{3}F_x(2,3)+F_y(2,3)=4~~~~\cdots\cdots\cdots\textcircled{1}$


2) $\vec u_2=(\cos 150,\sin 150)=\left(-\dfrac{\sqrt3}{2},\dfrac{1}{2}\right)$

$D_{\vec u_2}F=\nabla F\cdot \vec u_2\\ \\ D_{\vec u_2}F=(F_x,F_y)\cdot \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2},\dfrac{1}{2}\right)\\ \\ \\ D_{\vec u_2}F=-\dfrac{\sqrt{3}F_x}{2}+\dfrac{F_y}{2}\\ \\ \\ D_{\vec u_2}F(2,3)=-\dfrac{\sqrt{3}F_x(2,3)}{2}+\dfrac{F_y(2,3)}{2}\\ \\ \\ -\dfrac{\sqrt{3}F_x(2,3)}{2}+\dfrac{F_y(2,3)}{2}=8\\ \\ -\sqrt{3}F_x(2,3)+F_y(2,3)=16~~~~\cdots\cdots\cdots\textcircled{2}$

(3) resolviendo el sistema

$\begin{cases} \sqrt{3}F_x(2,3)+F_y(2,3)=4\\ -\sqrt{3}F_x(2,3)+F_y(2,3)=16 \end{cases}\\ \\ \\ F_x(2,3)=-2\sqrt{3}\\ F_y(2,3)=10\\ \\ \boxed{\nabla F(2,3)=\left(-2\sqrt{3},10\right)}$


(4) Hallemos el vector tangente a la curva generada por G

$\vec v =\nabla G \\ \\ \vec v =(G_x,G_y)\\ \\ \vec v = (2y,2x-6y)\\ \\ \text{En el punto }(2,1)\text{ tenemos}\\ \\ \vec v=(2,-2)\\ \\ \text{Ahora el vector unitario de }\vec v\\ \\ \vec u=\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}},-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$

(5) Nos piden calcular $D_{\vec u}F(2,3)=\nabla F(2,3)\cdot \vec u$

$D_{\vec u}F(2,3)=\left(-2\sqrt{3},10\right)\cdot \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}},-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\\ \\ \\ D_{\vec u}F(2,3)=-\dfrac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}}-\dfrac{10}{\sqrt{2}}\\ \\ \\ \boxed{D_{\vec u}F(2,3)=-\dfrac{2\sqrt{3}+10}{\sqrt{2}}}$