Question

como hago para dividir integrales de polinomios

Answer 1

Queremos calcular la integral de una fracción de polinomios (fracción con polinomios en el numerador y en el denominador).

Supongamos que tenemos la integral

∫P(x)Q(x)dx∫P(x)Q(x)dx

donde P(x) y Q(x) son los polinomios del numerador y denominador, respectivamente.

Distinguimos los siguientes casos:

grado( P )≥ grado( Q ): efectuamos la división de los polinomios.grado( P ) < grado( Q ):En este caso, aplicaremos el Teorema Fundamental del Álgebra. Subcasos:Caso a: Todas las raíces de Q son realesCaso b: NO todas las raíces de Q son reales1. grado de P mayor o igual que el de Q

Antes de efectuar la división de polinomios tenemos que factorizar los polinomios del numerador y denominador (expresarlos como productos de (x - raíz) ) porque si tenemos algún mismo factor en el numerador y denominador podemos quitarlos (simplificar).

Si tenemos la integral

∫P(x)Q(x)dx∫P(x)Q(x)dx

Al efectuar la división tendremos que

P(x)=Q(x)⋅C(x)+R(x)P(x)=Q(x)⋅C(x)+R(x)

siendo C(x) el polinomio cociente y R(x) el polinomio resto de la división.

Si dividimos la expresión por Q(x) obtenemos

P(x)Q(x)=C(x)+R(x)Q(x)P(x)Q(x)=C(x)+R(x)Q(x)

De este modo, aplicando las propiedades de las integrales, habremos descompuesto la integral en la suma de dos integrales:

∫P(x)Q(x)dx=∫C(x)dx+∫R(x)Q(x)dx∫P(x)Q(x)dx=∫C(x)dx+∫R(x)Q(x)dx2. grado de P menor que el de QCaso (a): todas las raíces de Q son reales

Podemos factorizar Q y escribirlo como

donde cada ai son las raíces (reales) de Q y ki es el grado de multiplicidad de la ráiz ai , esto es, el número de veces que se repite la raíz.

Para la descomposición usaremos, habitualmente, Ruffini.

Según el teorema fundamental del álgebra, podemos expresar el cociente P(x)/Q(x)como una suma de cocientes a los que denominamos fracciones simples.

donde los términos bij son reales y cuyos valores desconocemos. Tendremos que buscarlos dando valores a x.

Caso (b): NO todas las raíces de Q son reales

Factorizamos (usando Ruffini si es necesario) el denominador, Q. Y obtenemos una expresión como la siguiente

donde ai son las raíces reales de Q con multiplicidades ki y αj + iβj son las complejas con multiplicidades qj. Nótese que si un complejo, α + iβ, es raíz de un polinomio, entonces, su conjugado, α - iβ, también; y, además, tienen la misma multiplicidad.

Por el teorema fundamental del álgebra, podemos escribir el cociente P(x)/Q(x) como

donde mij y nij son constantes reales que desconocemos y nótese que no existe relación entre mij y qm aunque hayamos utilizado en ambas la letra m.

Y donde R(x) es la suma de fracciones simples asociada a las raíces reales que ya sabemos escribir (caso anterior) y que hemos omitido para facilitar la notación. Podemos observar que el procedimiento es el mismo, pero ahora las fracciones simples asociadas a las raíces complejas tienen otra forma.

Calculamos las constantes mij y nij. Para ello, multiplicamos la igualdad anterior por la factorización de Q y damos varios valores a x para obtener un sistema lineal de ecuaciones que determinará las constantes. Cuando las tengamos, podremos expresar la integral como suma de integrales