Question

Composición de Funciones

Answer 1

Bueno, primer te comento, que las funciones cuadráticas no tienen inversa, porque no son biyectivas...y fallan justo en la inyectivdad...porque sobreyectivas si son...enotnces lo más adecuado es siempre trabajar únicmente con una sola de la ramas de pa´rabola, puedes usar la parte positiva o la parte negativa, entonces, definimos la función así

 $f:[2,+\infty)\hspace{3mm}\rightarrow\Re\\.\hspace{12mm}x\hspace{5mm}\rightarrow f(x)=3(x-2)^{2}$

entoneces, ya tienes la fnción definida, es inyectiva y sobreyectiva entonces biyectiva y or lo tanto tiene inversa...ahora sí,

¿cómo arme el dominio?, pues, busca el vértice v=-(b/2a) y desde ese punto hacia más infinito (de preferencia)

decimos que inversa es exactamente lo que estabas haciendo, despejar equis en función de ye, entonces

$y=3(x-2)^{2}\\\displaystyle\frac{y}{3}=(x-2)^{2}\\\sqrt{\frac{y}{3}}=\sqrt{(x-2)^{2}}\\\sqrt{\frac{y}{3}}=|x-2|$

justamente por ésto es que se tiene que definir en donde está el dominio, el valor bsoluta llega  nos molesta porque eso es negativo o positivo, pero como ya definimos la función sool para valores positivos, entonces el valor absoluto deparece,

$\displaystyle\sqrt{\frac{y}{3}}=x-2\\x=\sqrt{\frac{y}{3}}+2$

y lo que hacemos es cambiar las variables, es decir

$\displaystyle y=\sqrt{\frac{x}{3}}+2=f^{-1}(x)$

bueno, la definición de inversa mejor nos saltamos...en todo caso, lo que queremos es la composicón, entonces

 $(f_{o}f^{-1})(x)=f(f^{-1}(x))=3((f^{-1}(x))-2)^{2}\\\\...=\displaystyle3\left[\left(\sqrt{\frac{x}{3}}+2\right)-2\right]^{2}=3\left(\sqrt{\frac{x}{3}}\right)^{2}=3\left(\frac{x}{3}\right)=x\\\\\\(f_{o}f^{-1})(x)=x$

y es muy obvio, porque, todos los reales tiene su inverso multiplicativo, e decir  de 5 su inverso es 1/5, y si los multiplicas es 1, la unidad, en las matrices, luego verás lo mismo pero en ves de unidad se llama "identidad...en las funciones no existe la unidad, pero si existe, la identidad que es y=x..

pero en fin...eso sería todo