Question

Una ventana tiene forma de rectángulo coronado en la parte superior por un triangulo equilatero. El perímetro de la ventana es de 6 metros. ¿Cual debe ser la longitud de la base del rectángulo para que la ventana tenga el área máxima?

Answer 1

La figura está anexada


Area del triángulo = ( x*h ) / 2


Área del rectángulo = x*y


Área total = ( x*y ) + ( x*h ) / 2


Perímetro de la ventana ⇒  3x + 2y = 6


Despejando y:


y = ( 6 - 3x ) / 2


Sustituyendo en la ecuación de área total:


Atotal = [ x * ( 6 - 3x ) / 2 ] + ( x*h ) / 2


La ecuación está en función de h, x


Utilizando el triángulo rectángulo que se forma de la partición por la mitad del triángulo equilátero:


x^2 = h^2 + ( x / 2 )^2


Despejando h:


h = √ [ x^2 - ( x/2 )^2 ]


h = √ ( 4x^2 - x^2 ) / 4


h = (1/2) √3x^2


h = ( x/2 ) * √3


Sustituyendo en la ecuación de área total:


Atotal = [ ( 6x - 3x^2 ) / 2 ] + ( x^2 / 4 ) * ( √3 )


Atotal = 3x - ( 3x^2 / 2 ) + ( √3 / 4 ) * ( x^2 )


Aplicando el Teorema de la Primera Derivada


Atotal' = 3 - 3x + ( x*√3 / 2 ) 


3 - 3x + x*(√3 / 2 ) = 0


x [ (√3 / 2)  - 3 ] = - 3


x = - 3 / [ (√3 / 2 ) - 3 ]  ; pto crítico


Para corroborar si el valor de x es un máximo, utilizamos el criterio de la 2da Derivada


Atotal'' = - 3 + √3 / 2


√3 / 2 - 3 < 0


√3 / 2 < 3  ; Si cumple la desigualdad


Por lo tanto: 


xmax = - 3 / [ (√3 / 2 ) - 3 ] ⇒ Longitud de la base del rectángulo

Answer 2

   La longitud de la base para que el área sea máxima es de x = 1.40m

Si la ventana tiene forma de rectángulo y triangulo equilatero con un perímetro de 6m

3x + 2y = 6

y = (-3x + 6)/2

Sabemos que el área sera

At = Ar  + Atr

At = (xy) + (xh/2)  

h lo determinamos por pitagoras

x² = (x/2)² + h²

h² = x² - x²/4

h = √(3x²/4)

h = √3x/2

At = x(-3x + 6)/2 + x/2(√3x/2)

At = -3x²/2 + 3x + √3x²/4  derivamos

At' = -3x + 3 + √3x/2  igualamos a 0

0 = -3x + 3 + √3x/2

x = 1.40m

At'' = -3 + √3/2

At''  = -2.13 Si es un máximo

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