Question

El rango de la parabola (fx)=3x^2+4x-1

Answer 1

El rango, viene dado por los siguientes parámetros, el sentido dela parábola que viene dado por el signo del coeficente de la ecuación cuadratica de la variable de mayor grado, es decir,

$ax^{2}+bx+c \displaystyle\hspace{5mm}\left \{ {si:a\ \textgreater \ 0\hspace{3mm}\textrm{la parabola se abre hacia arriba}} \atop {si:a\ \textless \ 0\hspace{3mm}\textrm{la parabola se abre hacia abajo}}} \right.$

y el segundo parámetro que debes ver, es el vértice de la parábaola, que viene definido por,

$\displaystyle V=\left(-\frac{b}{2a},f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$

bueno, entonces si ya sabemos que se abre hacia arriba o hacia abajo A PARTIR del punto más alto o bajo (vértice) el recorrido es fácil de determinar, veamos,

$3x^{2}+4x-1$

aquí "a" es positivo vale +3 entonces se abre la parábola hacia arriba...es decir hacia más infinito...ahora obtenegas el vértices, identificamos que a=3, b=4, entonces

$\displaystyle V=\left(-\frac{(4)}{2(3)},f\left(-\frac{(4)}{2(3)}\right)\right)=\left(-\frac{2}{3},f\left(-\frac{2}{3}\right)\right)\\\\ f\left(-\frac{2}{3}\right)=3\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}+4\left(-\frac{2}{3}\right)-1=\frac{4}{3}-\frac{8}{3}-1=-\frac{7}{3}$

entonces el vértice es,

$V=\displaystyle\left(-\frac{2}{3},-\frac{7}{3}\right)$

como el recorrido se mide en el eje ye, entonces nos interesa el vértice en el eje ye, entonces será -7/3, y como sabemos que se abre hacia arriba fácilmente decimos que,

$\displaystyle R_{f}:\forall y/y\in\left[-\frac{7}{3},+\infty\right)$

y eso sería todo