Question

Encuentre la transformada de Laplace por definición.

Answer 1

Bueno, por definición sabemos que,

$\displaystyle\mathscr{L}\{f(t)\} =\int_{0}^{\infty}{e^{-st}f(t)}dt$

entonces, hallemos la transformada,

$\displaystyle\mathscr{L}\{5t\} =\int_{0}^{\infty}{e^{-st}5t}dt=5\int_{0}^{\infty}{e^{-st}t}dt$

debemos hacer una integración por partes, para eso, consideramos,

$u=t\hspace{6mm}du=dt\\dv=e^{-st}dt\hspace{6mm}\displaystyle v=-\frac{e^{-st}}{s}$

entonces tenemos,

$\displaystyle5\int_{0}^{\infty}{e^{-st}t}dt=5\left[\left(-\frac{te^{-st}}{s}\right|_{0}^{\infty}+\frac{1}{s}\int_{0}^{\infty}{e^{-st}}dt\right]=\\\\\\...=5\left(-\frac{te^{-st}}{s}\right|_{0}^{b}+\frac{5}{s}\left(-\frac{e^{-st}}{s}\right|_{0}^{\infty}=5\left(-\frac{t}{e^{st}s}\right|_{0}^{b}+\frac{5}{s}\left(-\frac{1}{e^{st}s}\right|_{0}^{b}$

ahora habrá que evaluar cada uno de esas, como son integrales impropias, entonces primero hagamos el primer resultado

$\displaystyle\left(-\frac{t}{e^{st}s}\right|_{0}^{b}=\left(-\frac{b}{e^{sb}s}\right)-\left(-\frac{(0)}{e^{-s(0)}s}\right)=\left(-\frac{b}{e^{sb}s}\right)\equiv\lim_{b\rightarrow\infty}{\left(-\frac{b}{e^{sb}s}\right)}=-\frac{\infty}{\infty}$

para levantar la indeterminación, podemos usar l`Hopital, entonces derivamos arriba y abajo, y nos queda

$\displaystyle\lim_{b\rightarrow\infty}{\left(-\frac{b}{e^{sb}s}\right)}=\lim_{b\rightarrow\infty}{\left(-\frac{1}{e^{sb}s^{2}}\right)}=-\frac{1}{e^{s(\infty)s^{2}}}=0$

es como que el exponencial ya sabemos que crece de forma exponencial es decir muy rápido...y si está elevada a una tendecia exrtemandamente gigantesca...ese valor es cero, listo, ahora vamos con el siguiente,

 
$\displaystyle\left(-\frac{1}{e^{st}s}\right|_{0}^{b}=\left(-\frac{1}{e^{sb}s}\right)-\left(-\frac{1}{e^{s(0)}s}\right)=\left(-\frac{1}{e^{sb}s}\right)+\left(\frac{1}{s}\right)\equiv\\\\\lim_{b\rightarrow\infty}{\left[-\frac{1}{e^{sb}s}+\frac{1}{s}\right]}=-\frac{1}{e^{s(\infty)s}}+\frac{1}{s}=0+\frac{1}{s}=\frac{1}{s}$

listo,entonces uniendo éstos dos resultados que hemos obtenido de los límties nos queda,

$\displaystyle5\int_{0}^{\infty}{e^{-st}t}dt=5\left(-\frac{t}{e^{st}s}\right|_{0}^{b}+\frac{5}{s}\left(-\frac{1}{e^{st}s}\right|_{0}^{b}=5(0)+\frac{5}{s}\left(\frac{1}{s}\right)=\frac{5}{s^{2}}$

y eso sería todo,

El problema se pude haber resumido bastante, si hubieras supuesto que ya conocíamos la transformada de 1, pero bueno...eso sería todo